問題描述：揹包的容量為C，現有N件物品，價格分別為p[0],p[1]......p[n-1].重量分別為：w[0],w[1]......w[n-1].從N件物品中選擇任意個放入揹包中，使得物體的價值最大並且總重量不超過揹包的容量C。

       採用數學語言描述如下：

      在  w[0]*x[0] + w[1] *x[1]+....... +w[n-1]*x[n-1]  < C, x[i] = 0 或1 的條件下

      求  p[0]*x[0] + p[1] *x[1]+....... +p[n-1]*x[n-1]   的最大值。

回溯法類其實也算列舉法的一種，但在搜尋過程中，一般使用遞迴來完成。

回溯法的基本思想

對於用回溯法求解的問題，首先要將問題進行適當的轉化，得出狀態空間樹。 這棵樹的每條完整路徑都代表了一種解的可能。通過深度優先搜尋這棵樹，列舉每種可能的解的情況；從而得出結果。但是，回溯法中通過構造約束函式，可以大大 提升程式效率，因為在深度優先搜尋的過程中，不斷的將每個解（並不一定是完整的，事實上這也就是構造約束函式的意義所在）與約束函式進行對照從而刪除一些 不可能的解，這樣就不必繼續把解的剩餘部分列出從而節省部分時間。

回溯法中，首先需要明確下面三個概念：

（一）約束函式：約束函式是根據題意定出的。通過描述合法解的一般特徵用於去除不合法的解，從而避免繼續搜尋出這個不合法解的剩餘部分。因此，約束函式是對於任何狀態空間樹上的節點都有效、等價的。

（二）狀態空間樹：剛剛已經提到，狀態空間樹是一個對所有解的圖形描述。樹上的每個子節點的解都只有一個部分與父節點不同。

（三）擴充套件節點、活結點、死結點：所謂擴充套件節點，就是當前正在求出它的子節點的節點，在DFS中，只允許有一個擴充套件節點。活結點就是通過與約束函式的對照，節點本身和其父節點均滿足約束函式要求的節點；死結點反之。由此很容易知道死結點是不必求出其子節點的（沒有意義）。

利用回溯法解題的具體步驟

首先，要通過讀題完成下面三個步驟：

(1)描述解的形式，定義一個解空間，它包含問題的所有解。

(2)構造狀態空間樹。

(3)構造約束函式（用於殺死節點）。

然後就要通過DFS思想完成回溯，虛擬碼如下：

void BackTrack(int depth)

{

        if(depth > maxDepth) //已經到最大深度

        {

              if(solution is target)

                      save solution;

              return;

         }

         for (int i =0;i<TotalExpendNode;++i)

         {

               if(currentNode is searchable) //當前結點滿足約束條件

               {

                      do something;

                      BackTrack(depth+1);

                      undo something;

                }

         }

}

對於揹包問題其演算法程式碼如下：

#include <iostream> #include <vector> using namespace std; class PackBackTrack { protected: vector<int> m_p; //N個揹包的價格 vector<int> m_w; //N個揹包的重量 int m_c; //揹包的容量 int m_num; //物品的件數 int bestValue; //揹包最大價值 int currentValue; //當前揹包中物品的價值 int currentWeight; //當前揹包中物品的重量 private: //輔助函式，用於回溯搜尋 void BackTrack(int depth) { if(depth >= m_num) //達到最大深度 { if(bestValue < currentValue) //儲存最優解 bestValue = currentValue; return ; } if(currentWeight +m_w[depth] <= m_c) //是否滿足約束條件 { currentWeight += m_w[depth]; currentValue += m_p[depth]; //選取了第i件物品 BackTrack(depth+1); //遞迴求解下一個結點 //恢復揹包的容量和價值 currentWeight -= m_w[depth]; currentValue -= m_p[depth]; } //不取第i件物品 BackTrack(depth+1); } public: //建構函式 PackBackTrack(); PackBackTrack(vector<int>& p,vector<int>& w, int c,int n) :m_p(p),m_w(w),m_c(c),m_num(n) { bestValue =0; currentValue =0; currentWeight =0; } //獲取揹包內物品的最大值 int GetBestValue() { BackTrack(0); return bestValue; } }; int main(void) { //測試程式 int n; int c; cout << "請輸入物品的件數" << endl; cin >>n; cout << "請輸入揹包的容量" << endl; cin >>c; vector<int> w(n); vector<int> p(n); cout << "請輸入物品的重量:" << endl; for(int i=0;i<n;++i) cin >> w[i]; cout << "請輸入物品的價格:" << endl; for(int j=0;j<n;++j) cin >> p[j]; PackBackTrack pack(p,w,c,n); int bestValue = pack.GetBestValue(); cout << "揹包內的物品的最大價值為：" << bestValue << endl; return 0; }

小結：回溯法作為一種窮舉方法，可以使用約束函式來排除一些不可能的結點。雖然不理論上此演算法在理論上最壞的情況下，複雜度仍為2^n,但在實際實驗中，其搜尋效率比上一次使用的2進位制列舉要高很多。