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多重小數部分和的漸近式

最近（6月），我和馬明輝考慮了如下 $k$ 重和式

\begin{equation}\label{eq:1}
\sum_{n_1=1}^{N} \sum_{n_2=1}^{N}\dotsc \sum_{n_{k}=1}^{N}
\left\{ \frac{N}{n_1+n_2+\dotsb+n_k} \right\}
\end{equation}
的漸近估計，$\{\cdot \}$ 表示小數部分．和式取遍不超過 $N$ 的正整數 $n_1,n_2,\dotsc, n_k \in\mathbb{N}_{+}$.

當 $k=1$ 時，\eqref{eq:1} 式可由著名的 Dirichlet 除數問題得到，我們有

\begin{equation}\label{eq:2}
\sum_{n_1=1}^{N} \left\{ \frac{N}{n_1} \right\} = (1-\gamma) N + O\big(\sqrt{N}\big)
\end{equation}
其中 $\gamma$ 是 Euler 常數．迄今， \eqref{eq:2} 式中余項最好的上界估計是 M.N. Huxley (2003) 的結果：
\begin{equation*}
O\left( N^{131/416} (\log N)^{26947/8320} \right).
\end{equation*}

特別地，當 $k=2,3,4$ 時，我們證明了如下結果：

\begin{align*}
\sum_{n_1=1}^{N} \sum_{n_2=1}^{N} \left\{ \frac{N}{n_1+n_2} \right\}
& = \left(2\log2-\frac{\zeta(2)}{2}\right)N^2+O(N\log N) \\
\sum_{n_1=1}^{N} \sum_{n_2=1}^{N} \sum_{n_3=1}^{N} \left\{ \frac{N}{n_1+n_2+n_3} \right\} & = \left(\frac{9}{2}\log 3 - 6\log 2 - \frac{\zeta(3)}{6} \right) N^3
+ O(N^2) \\
\sum_{n_1=1}^{N} \sum_{n_2=1}^{N} \sum_{n_3=1}^{N} \sum_{n_4=1}^{N} \left\{ \frac{N}{n_1+n_2+n_3+n_4} \right\} & = \left(\frac{88}{3}\log 2 - 18 \log 3 - \frac{\zeta(4)}{24} \right)N^{4} + O(N^3) \\
\sum_{n_1=1}^{N} \sum_{n_2=1}^{N} \sum_{n_3=1}^{N} \sum_{n_4=1}^{N} \sum_{n_5=1}^{N} \left\{ \frac{N}{n_1+n_2+n_3+n_4+n_5} \right\} & = \left(\frac{625}{24}\log 5+ \frac{135}{4}\log 3 - \frac{340}{3}\log 2 - \frac{\zeta(5)}{120} \right)N^{5} + O(N^4).
\end{align*}

當然我們也證明了 $k$ $(k\geqslant 2)$ 重和式的漸近公式．

多重小數部分和的漸近式