這題是挑戰程式設計競賽上的。

題意:

n個不同的數字,每個有xi個，要恰好組成k這個數是否可能.

如果單純用dp[i][j]表示前i種數，和為j是否可能，那麼轉移方程就是：

dp[i][j]=dp[i][j]||dp[i-1][j-k*a[i]]  k=min(j/a[i],x[i])

複雜度為O(n^3)

如果利用多重揹包二進位制的思想把數字按照個數分成其他數字，則可以將複雜度降為O(n^2lg(n))

但是這個題是可以做到O(n^2)的。

具體方法是定義狀態dp[i][j]表示前i種數，和恰好為j時剩餘最多a[i]的數量。也就是說前面我們在推dp[i][j]時，只用到了dp[i-1][k]的值，但是其實在計算q<j 的dp[i][q]時，就已經用到了一些a[i]，所以在計算dp[i][j]的時候還是隻使用前面的dp[i-1][k]是低效的，有一些重複計算，那麼我們這樣記錄狀態可以讓轉移方程利用dp[i][q]的值。

狀態轉移

dp[i][j]=x[i];(dp[i-1][j]>0)
dp[i][j]=dp[i][j-a[i]]-1;(dp[i][j-a[i]]>0)
dp[i][j]=-1;(dp[i][j-a[i]]<=0)

看到轉移方程於是可以變為一維。

程式碼。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 105;
const int maxk = 100005;
int dp[maxn][maxk]; //dp[i][j]表示前i個數 恰好和為j時 第i個數最多剩多少.
int f[maxk];
int main()
{
    freopen("in.txt","r",stdin);
    int n,a[maxn],x[maxn],k;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
      scanf("%d%d",&a[i],&x[i]);
    memset(f,-1,sizeof(f));
    f[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=0;j<=k;j++)
     {
       if(f[j]>=0) f[j]=x[i];
       else if(j<a[i]||f[j-a[i]]<0) f[j]=-1;
            else f[j]=f[j-a[i]]-1;
     }
    if(f[k]>=0) cout<<"YES\n";
    else cout<<"NO\n";
    return 0;
}