【題解】

　　本題要求求出區間內的各個元素通過加減之後能夠得出的最小的數，那麽根據裴蜀定理可知答案就是區間內各個元素的最大公約數。

　　那麽本題題意化簡成了維護一個序列，支持區間加上某個數以及查詢區間元素的最大公約數。

　　我們要證明這樣一個定理：

　　　　對於一個序列(a,b,c,d,...)，gcd(a,b,c,d,...)=gcd(a,b-a,c-b,d-c,...)，文字表述就是原序列的最大公約數等於序列差分後的最大公約數。

　　證明方法如下：

　　 1,設t為序列(a,b,c,d,...)的公約數，a<b<c，b=k1*a+x1，c=k2*a+x2，

　　　　那麽我們有t|a,t|b,t|c

　　　　所以有t|x1,t|x2

　　　　所以t|(x2-x1)

　　　　所以t|(k1-1)*a+x1,t|(k2-k1)*a+(x2-x1)

　　　　即t也是序列(a,b-a,c-b,...)的公約數

　　　　同理，(a,b,c,...)的任一公約數也是(a,b-a,c-b,...)的公約數。

　　 2,設t為序列(a,b-a,c-b,...)的公約數，

　　　　那麽有t|a, t|(k1-1)*a+x1, t|(k2-k1)*a+(x2-x1)

　　　　所以有t|x1,t|x2-x1

　　　　所以t|x2

　　　　所以t|a, t|k1*a+x1,t|k2*a+x2

　　　　即t也是序列(a,b,c,...)的公約數

　　　　同理，(a,b-a,c-b,...)的任一公約數也是(a,b,c,...)的公約數。

　　　綜上，gcd(a,b,c,...)=gcd(a,b-a,c-b,...).

　　證明完這個定理之後，我們就可以把題意化為求區間第一個元素與後面元素的差分值的GCD

　　我們先把原序列差分，線段樹維護差分數組的GCD。因為我們已經進行了差分，所以區間加操作變成了點修改，可以直接在線段樹上logn完成。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4 #define LL long long
 5
 
 #define rg register
 6 #define N 100010
 7 #define ls (u<<1)
 8 #define rs (u<<1|1)
 9 #define mid ((a[u].l+a[u].r)>>1)
10 using namespace std;
11 int n,m,v[N],c[N],t[N];
12 struct tree{
13     int l,r,g;
14 }a[N<<2];
15 inline int read(){
16     int k=0,f=1; char c=getchar();
17     while(c<‘0‘||c>‘9‘)c==‘-‘&&(f=-1),c=getchar();
18     while(‘0‘<=c&&c<=‘9‘)k=k*10+c-‘0‘,c=getchar();
19     return k*f;
20 }
21 int gcd(int x,int y){return y?gcd(y,x%y):x;}
22 void build(int u,int l,int r){
23     a[u].l=l; a[u].r=r;
24     if(l<r) build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r),a[u].g=gcd(a[ls].g,a[rs].g);
25     else a[u].g=abs(c[l]);
26 }
27 void update(int u,int pos,int data){
28     if(a[u].l==a[u].r){
29         a[u].g=data; return;
30     }
31     update(pos<=mid?ls:rs,pos,data);
32     a[u].g=gcd(a[ls].g,a[rs].g);
33 }
34 int query(int u,int l,int r){
35     if(l<=a[u].l&&a[u].r<=r) return a[u].g;
36     int ret=0; bool goleft=0;
37     if(l<=mid) ret=query(ls,l,r),goleft=1;
38     if(r>mid){
39         if(goleft) ret=gcd(ret,query(rs,l,r));
40         else ret=query(rs,l,r);
41     } 
42     return ret;
43 }
44 inline void add(int x,int y){for(;x<=n+10;x+=(x&-x)) t[x]+=y;}
45 inline int qsum(int x){int ret=0; for(;x;x-=(x&-x)) ret+=t[x]; return ret;}
46 int main(){ 
47     n=read(); m=read();
48     for(rg int i=1;i<=n;i++) v[i]=read(),c[i]=v[i]-v[i-1],add(i,c[i]);
49     build(1,1,n);
50     while(m--){
51         int opt=read(),l=read(),r=read(); if(l>r) swap(l,r);
52         if(opt==1){
53             if(l<r) printf("%d\n",gcd(qsum(l),query(1,l+1,r)));
54             else printf("%d\n",qsum(l));
55         }
56         else{
57             int del=read();
58             c[l]+=del; c[r+1]-=del;
59             add(l,del); if(r<n) add(r+1,-del);
60             update(1,l,abs(c[l])); if(r<n) update(1,r+1,abs(c[r+1]));
61         }
62     }
63     return 0;
64 }

BZOJ 5028 小Z的加油店