首先，介紹一下什麽是樹（tree）

　　樹，就是一種順序。我們有從小到大，從大到小的順序，也自然會有“樹”這種順序。

　　那麽，樹，是一個怎麽樣的順序呢？

對於一列數，只能保持兩種狀態：①無序②有序

　　　而這兩者最大的區別就是：查找的方式不同

　面對無序數列，我們只能依次比較，去尋找目標值。（順序查找）

　而對於有序數列，我們可以通過某種規矩去推演目標所在的位置。

　　而“樹”，就是我們推理的規則。

一、二叉樹（有序二叉查找樹）

　　規定：在一組數列中選擇一個值作為“根節點”，數列中剩下的值大於它的全部放在右側，小於它的值全部放在左邊，且所有節點最多有左右兩個子節點。　　

　　　　1、任意一個不為空的左子樹節點

　　　　2、任意一個不為空的右子數節點,則右子樹的值均大於於根節點的值；

　　　　3、任意節點的左右子樹也分別是二叉查找樹；

　　　　4、沒有鍵值相等的節點；

　　查詢方式：比較節點值和目標值，目標較大往右，較小則往左，等於則找到。

以圖中為例：

　　我們想要查找“5”這個目標值，需要6→3→5三步。

　　而如果是“3“、”7”這兩個目標值，就只需兩步。

　　所以，平均下來就是（3+3+3+2+2+1）/6 = 2.3

然後，我們在跟無序數列的依次查找作比較：
　　從最好到最壞情況：（1+2+3+4+5+6）/6 = 3.3

　很明顯，以“樹”這種順序查找，要比依次查找快好多。

但是，我們說這有一種局限性，就是如果根節點沒有選擇“6”，而是選擇了最小的“2”，那麽樹就會變成這樣：

當樹變成這樣時，我們在來查找就會

　　（1+2+3+4+5+5）/6 = 3.16

這與“順序查找”幾乎一樣，所以樹的建立異常重要。

二、AVL樹（平衡二叉樹——Balance Tree）

　　在普通二叉樹的基礎上，AVL樹嚴格要求了：　

　　　　所有節點的左右子樹高度差不超過1　

　　也就是，剛開始演示的那棵“樹”。

　　如果，左右子樹的高度超出了要求，那麽就要用到“旋轉”

旋轉重排序

　　口訣：子、父換位，重新“認父”，葉子不動

　　　　來看下圖理解：

上圖就是常說的LL型，但我個人覺得討論這些“型”沒有任何意義。

　　第一步：找到哪兩個節點相差2，圖中為“3”與“9”；

　　第二步：找到在“3”這條分支上與“9”同級的節點，圖中為“6”；

　　第三步：將子節點與父節點換位，圖中為“6”與“8”

　　第四步：將多出來的節點，按照二叉樹的規定重新分配，圖中為‘7’變更為“8”的子節點。

按照，此方不論是LR、RL、RR 都能夠輕易翻轉：
　　如下圖的RL：

很顯然，這種二叉樹一旦變動，就相當麻煩，所以人們就又發明了一個條件不那麽苛刻的樹。

　三、紅黑樹

　　由於，它也是一種二叉樹，所以它在具備普通二叉樹的條件外，新增：
　　　　1、每個結點要麽是紅的要麽是黑的
　　　　2、根節點是黑色的
　　　　3、每個葉節點（葉節點即樹尾端NIL指針或NULL結點）都是黑的
　　　　4、如果一個結點時紅的，那麽它的兩個兒子都是黑的
　　　　5、對於任意結點而言，其到葉節點樹尾端NIL指針的每條路徑都包含相同數目的黑結點。

為什麽，它能比AVL樹相對來說寬松一些呢？

　　我說下，一個困擾我很久的問題：就是"紅"、“黑”到底代表什麽？

　　　　這個其實很簡單，就是將數列分成兩組數來保持平衡，紅、黑只是記號，你要想叫“藍”、“白”樹也隨你。

　　　　那怎麽來保持平衡呢？這種平衡怎麽就比AVL松了呢？　　

　　我們，先拋開“樹”不談，我們先講一個小學知識—間隔插入

　　　　　　規定：公路上種了5棵樹，頭尾不能站人，人後面必須跟著一棵樹，兩樹之間可以不站人。

　　　　　　　　問，這5棵樹中最少、最多能站多少人？

　　　　　　這不很簡單嗎，最少 = 0人 ， 最多 = （5-1）4人

　　那麽，在“紅黑樹”的概念上，0人平衡於4人。這就比AVL寬松多了。

關於，紅黑樹的插入、刪除會有專門一篇來分析。

四、B-Tree（Branches Tree 多路查找樹）

　　首先，強調一些“術語”：“高度”——從葉節點到目標節點的長度、“深度”——從根節點到目標節點的長度、“階數”——節點的最大兒子（分支）個數

　　　　網上找的例子：

拿"G"節點舉例，設根、葉節點深、高度為 0 ，“G”的深度 =2、高度 = 2、該樹階數 = 3.

所以，規定B-Tree 需滿足：

　　1.一個M階的B-樹，每個非葉子節點最多只有M個兒子

　　2、根結點的兒子數為[2, M]；

　　3、除根結點以外的非葉子結點的兒子數為[M/2, M]；

　　4、每個結點存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1個關鍵字；（至少2個關鍵字）

　　5、非葉子結點的關鍵字個數=指向兒子的指針個數-1；

　　6、非葉子結點的關鍵字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；

　　7、非葉子結點的指針：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向關鍵字小於K[1]的子樹，P[M]指向關鍵字大於K[M-1]的子樹，其它P[i]指向關鍵字屬於(K[i-1], K[i])的子樹；

　　8、所有葉子結點位於同一層；

　由於，B-Tree的關鍵字不再像二叉樹那樣內個節點只有一個，那麽我們就不能簡單的：大於往右，小於往左了。

　　假設，一個節點中有 5 | 7 | 10 這三個關鍵字，那麽就是：大於10的向“最右”，大於7小於10的向“次右” ......等於關鍵字就取到，以此類推。

　　網上找的圖片：

下面來看下，B-Tree的插入刪除

　　插入：

刪除：

B+樹

為什麽要B+樹

由於B+樹的數據都存儲在葉子結點中，分支結點均為索引，方便掃庫，只需要掃一遍葉子結點即可，但是B樹因為其分支結點同樣存儲著數據，我們要找到具體的數據，需要進行一次中序遍歷按序來掃，所以B+樹更加適合在區間查詢的情況，所以通常B+樹用於數據庫索引，而B樹則常用於文件索引。

簡介

同樣的，以一個m階樹為例：

1. 根結點只有一個，分支數量範圍為[2，m]；
2. 分支結點，每個結點包含分支數範圍為[ceil(m/2), m]；
3. 分支結點的關鍵字數量等於其子分支的數量減一，關鍵字的數量範圍為[ceil(m/2)-1, m-1]，關鍵字順序遞增；
4. 所有葉子結點都在同一層；

操作

其操作和B樹的操作是類似的，不過需要註意的是，在增加值的時候，如果存在滿員的情況，將選擇結點中的值作為新的索引，還有在刪除值的時候，索引中的關鍵字並不會刪除，也不會存在父親結點的關鍵字下沈的情況，因為那只是索引。

B樹和B+樹的區別

這都是由於B+樹和B具有這不同的存儲結構所造成的區別，以一個m階樹為例。

1. 關鍵字的數量不同；B+樹中分支結點有m個關鍵字，其葉子結點也有m個，其關鍵字只是起到了一個索引的作用，但是B樹雖然也有m個子結點，但是其只擁有m-1個關鍵字。
2. 存儲的位置不同；B+樹中的數據都存儲在葉子結點上，也就是其所有葉子結點的數據組合起來就是完整的數據，但是B樹的數據存儲在每一個結點中，並不僅僅存儲在葉子結點上。
3. 分支結點的構造不同；B+樹的分支結點僅僅存儲著關鍵字信息和兒子的指針（這裏的指針指的是磁盤塊的偏移量），也就是說內部結點僅僅包含著索引信息。
4. 查詢不同；B樹在找到具體的數值以後，則結束，而B+樹則需要通過索引找到葉子結點中的數據才結束，也就是說B+樹的搜索過程中走了一條從根結點到葉子結點的路徑

文章參考：

　http://www.cnblogs.com/George1994/p/7008732.html

https://blog.csdn.net/wanghanlincsdn/article/details/61208273

B-Tree和B+Tree