目錄

1 介紹

2 B樹

2.1 B樹的定義

2.2 B樹的查詢

2.3 B樹的插入

2.4 B樹的刪除

2.5 B樹的應用

3 B+樹

3.1 定義

3.2 B+樹的插入

3.3 B+樹的刪除

1 介紹

樹家族是為了實現方便快捷的查詢而存在的。樹的高度是命中查詢的一個不可抗拒的時間下限。在一定的資料條件下，樹的高度和寬度是相互制約的。對於二叉樹來說，雖然易於實現，卻沒有實際的價值。因為二叉樹的寬度固定，使樹的高度無法減小，因此出現了多叉樹。B樹、B+樹都屬於多叉樹。MySQL和Berkeley DB都是基於B樹原理而建立資料庫的。B樹是一種可實現的平衡多路查詢樹。

2 B樹

2.1 B樹的定義

B樹在維基百科是這麼定義的：“在電腦科學中，B樹（B-Tree）是一種樹狀資料結構，它能夠儲存資料，對其進行排序並允許以O（log n）的時間複雜度執行進行查詢、順序讀取、插入和刪除的資料結構。B樹，概括來說是一個節點可以擁有多於2個子節點的二叉排序樹。與自平衡二叉查詢樹不同，B-樹為系統最優化大塊資料的讀和寫操作。普遍運用在資料庫和檔案系統。”

B樹中所有節點的最大孩子節點數被稱為B樹的階，通常用m來表示。一棵m階B樹可以是一棵空樹，也可以是滿足一下條件的m叉樹。

1）每個節點最多有m個子結點，即每個節點最多有m-1個關鍵字；最少子節點要看是否為根節點，如果是非葉子節點的根節點，則至少要有2個節點，其他非根節點非葉節點至少要有[m/2]個節點，[m/2]表示m/2向上取整。

2）如果一個節點有n-1個關鍵字，則子節點有n個。這n-1個關鍵字按照遞增的順序排列。

3）每個節點的結構為：

其中，n為節點中關鍵字的個數；ki為該節點的關鍵字且ki<k(i+1)；pi為該節點的孩子節點指標

4）節點內關鍵字互不相等且按照從小到大順序排列。

5）葉子節點處於同一層；可以用空指標表示，是查詢失敗到達的位置。

5階B-樹例項：

2.2 B樹的查詢

B樹節點內的關鍵字是有序的，因此在節點內查詢時除了順序查詢還可以使用折半查詢。假設要查詢的關鍵字為key。步驟如下：

1）先讓key與根節點的關鍵字進行比較，如果key=k[i]，則查詢成功；

2）若key<k[1]，則到p[0]所指向的子節點進行查詢；

3）若key>k[n]，則到p[1]所指向的子節點進行查詢;

4）若k[i]<key<k[i+1]，則到p[i]所指向的子節點進行查詢；

5）若遇到空指標，則查詢失敗。

2.3 B樹的插入

在B樹插入key時，需要判斷key所在的節點的關鍵字的個數是否滿足多叉樹的條件。

2.4 B樹的刪除

2.5 B樹的應用

為了將大型資料庫檔案儲存在硬碟上，以減少訪問硬碟次數為目的，在此提出了一種平衡多路查詢樹——B-樹結構。由其效能分析可知它的檢索效率是相當高的 為了提高 B-樹效能’還有很多種B-樹的變型，力圖對B-樹進行改進，比如B+樹。

3 B+樹

3.1 定義

由於B樹的一個結點代表輔助的一個頁或者塊。一個節點到另一個節點的傳送要求一次耗時的頁交換，因此應該儘可能的減少節點訪問。（如果要求B樹中所有節點按升序列印，可以採用中序樹遍歷演算法，這是很容易實現。）但對非葉子節點，每次只能顯示一個鍵值，然後就得訪問另一頁。因此，應該改進B樹，以更快的方式順序訪問資料，而不是使用中序遍歷。B+樹解決了這個問題。B+樹的資料都儲存在葉子節點中，分支節點均為索引，因此B+樹用於資料庫索引，B樹適用於檔案索引。
B+樹和B樹的差異在於：

1）有m個子結點的的節點的關鍵字有m個；

2）非葉節點僅具有索引的作用，跟記錄有關的資訊均記錄在葉子結點中；

3）樹的所有葉子結點構成一個有序連結串列，可以按照關鍵碼排序的次序遍歷全部記錄。

相同點在於：

1）所有節點的子節點的個數最多為m；非葉根節點的子節點個數最少是2，非葉非根節點的子節點個數最少是[m/2]；

2）所有葉子節點都在同一層。

4階B+樹例項：

雙向連結串列，每頁可存放4條記錄。

3.2 B+樹的插入

為了保持平衡，對於新插入的鍵值可能會做多次拆頁操作（split），B+樹主要用於磁碟，多次拆頁意味著對磁碟多次操作，應該儘可能的減少對磁碟操作。因此B+樹提供了旋轉（rotation）操作。

旋轉發生在Leaf Page滿了但是左右兄弟節點還沒滿的情況下。通常情況下，左兄弟被首先檢查用來做旋轉操作。比如要插入70。

若按照拆頁操作則是：

因此旋轉使得少了一次拆頁操作。

3.3 B+樹的刪除

B+樹使用填充因子（fill factor）來控制樹的刪除，50%是刪除因子可設的最小值，因為B+樹屬於多叉樹，要滿足多叉樹最小分支數的條件。