題目大意：

一個有密碼箱，數字是0~n-1,其中有若幹個密碼，密碼的特點：若x是密碼，y是密碼，（x可以等於y）則(x+y)%n也是密碼。

給一個n(<=10^14)，一個k(k<=min(250000,n))，給k個數(a[k]<n)，前k-1個數不是密碼，第k個數是密碼。

求在0~n-1中，最多有多少個數字是密碼？

題解：

推薦（但是結論二的證明不太完整）

看起來和數論有一些關系。
而且一定是一個性質題。

結論1：若x是密碼，則gcd(n,x)是密碼

發現，x是密碼，則k*x%n都是密碼。

所以，一定存在一個t，c，使得t*x-n*c=gcd(n,x)

並且根據裴屬定理，不能用x湊出一個更小的密碼比gcd(n,x)更小，

結論2：若x，y是密碼，則gcd(x,y)是密碼。

根據裴屬定理，p*x+q*y=gcd(x,y)有整數解。

如果q是負數q=-q，那麽就是p*x+(c*n-q)*y=gcd(x,y)+c*n*y

那麽，就存在非負數p,q使得p*x+q*y=gcd(x,y) mod n

結論3：若x是所有密碼中最小的那一個，那麽，所有的密碼就是x,2x,3x,...kx，並且x是n的約數。

反證。設x是最小的，y是另一個密碼，若x不是y的約數，那麽gcd(x,y)<x，根據結論二，那麽gcd(x,y)就是一個更小的密碼。矛盾。

所以，任意的y都是x的倍數。

由於對於一個密碼z，根據結論1，gcd(n,z)也是密碼，所以，最小的密碼x是gcd(n,z)的約數，也就是n的約數。

所以，如果我們求出了滿足條件的x，那麽n/x就是答案。

我們密碼數量最多，所以，x必須取最小的。

由於給了一個a[k]是密碼，而x又是n的約數，所以x就一定是gcd(a[k],n)的約數。

並且，x不能是a[1~k-1]的約數，只要是，那麽x就能湊出ai，與ai不是密碼矛盾。

只要不存在這樣的ai，那麽x一定可以是最小的密碼（裴屬定理可以證明）。

所以，我們可以枚舉gcd(a[k],n)的約數，然後排序。

從小到大枚舉x，再暴力驗證是否是a[i]的約數，第一個符合的x，n/x就是答案。

代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace
 
 std;
typedef long long ll;
const int N=250000+5;
ll n,k;
ll gcd(ll a,ll b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
ll a[N],fac[N];
int tot;
int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    for(int i=1;i<=k;i++)scanf("%lld",&a[i]);
    ll g=gcd(a[k],n);
    //cout<<"gg "<<g<<endl;
    for(ll i=1;i*i<=g;i++){
        if(g%i==0){
            fac[++tot]=i;
            if(i!=g/i) fac[++tot]=g/i;
        }
    }sort(fac+1,fac+tot+1);
    for(int i=1;i<=tot;i++){
        //cout<<fac[i]<<" ";
        bool fl=true;
        for(int j=1;j<=k-1;j++){
            if(a[j]%fac[i]==0){
                fl=false;break;
            }
        }
        if(fl){
            printf("%lld",n/fac[i]);return 0;
        }
    }
    //cout<<" over "<<endl;
    return 0;
}

[POI2011]SEJ-Strongbox