這題是顯然的數位$dp$，然而我居然寫了一個下午！！！

我們不難想到差分，令$solve(x,y)$表示從第一個數字在區間$[0,x]$，第二個數字在區間$[0,y]$的答案。

不難發現題目中給了你一對$A$,$B$，答案顯然為$solve(B,B)-2solve(A-1,B)+solve(A-1,A-1)$。

考慮如何求解$solve(x,y)$函數，令$n=max(len(x),len(y))$，其中$len(p)$表示數字$p$在十進制下的長度（以下的位均代表十進制位）。

令$f[i]$表示數字$x$在模意義下前$i$位的值，令$F[i]$表示數字$x$在模意義下後$n-i+1$位的值。

同理，我們處理出$g[i]$和$G[i]$。

令$mi[i]$表示模意義下$10^i$的值，$Mi[i]$表示模意義下$10^(n-i+1)$的值。

令$ans[i][j][k]$表示第一個數字的第$i$位為$j$，第二個數字的第$i$位為$k$時的答案。

設第一個數字第$i$位為$j$的數字個數為$mul1$，第二個數字第$i$位為$k$的個數為$mul2$。

下面考慮如何求$mul1$，設$x[i]$為數字$x$的第i位，$num[i]$為數字$x$前$i$位構成的數，$Num[i]$為數字$x$後$i$位構成的數。

當$x[i]<j$時，$mul1=(f[i-1]+1)\times Mi[i+1]$，這裏可以理解為前$i$位填一個數不大於$num[i-1]$的數，或者全填$0$，後$n-i$個數隨便填的方案數。

當$x[i]==j$時，$mul1=f[i-1]\times Mi[i+1]+F[i+1]+1$ ，這裏可以理解為前$i$位填一個小於$num[i-1]$的數，後$n-i$個數隨便填的方案數，加上前$i$個數和$x$的前i個數相同，後n-i個數填寫不大於F[i+1]的方案數。

當x[i]>j時，$mul1=f[i-1]\times Mi[i+1]$，這裏可以理解為前$i$位填一個小於$num[i-1]$的數,後$n-i$位隨便填的方案數。

求$mul2$同理

那麽顯然，$ans[i][j][k]=mul1\times mul2$。$solve(x,y)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=0}^{9}\sum_{k=0}^{9}ans[i][j][k]$。

最終的答案為$solve(B,B)-2solve(A-1,B)+solve(A-1,A-1)$。考慮到$A$跟$B$的位數可能很大，這個減法需要用高精度。

完結撒花，註意細節。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define MOD 1000000007
 3 #define M 100005
 4 #define LL long long
 5 using namespace std;
 6 char c[M]={0};
 7 struct bign{
 8     LL a[M+1],len; bign(){memset(a,0,sizeof(a));}
 9     void rd(){
10         scanf("%s",c); len=strlen(c);
11         for(LL i=0;i<len;i++) a[M-i]=c[len-i-1]-‘0‘;
12     }
13     void jian(){
14         for(LL i=M,g=1;i&&g;i--){
15             LL s=a[i]-g;
16             if(s>=0) a[i]=s,g=0;
17             else a[i]=s+10,g=1;
18         }
19         for(LL i=0;i<=M;i++)
20         if(a[i]!=0){
21             len=M-i+1;
22             return;
23         }
24     }
25 }A,B,L,R;
26 LL f[M]={0},g[M]={0},F[M]={0},G[M]={0},mi[M]={0},Mi[M]={0},a[M]={0},b[M]={0},n;
27 
28 LL solve(){
29     n=max(A.len,B.len); LL res=0;
30     mi[0]=1; for(LL i=1;i<=n;i++) mi[i]=mi[i-1]*10%MOD;
31     F[n+1]=G[n+1]=0;
32     for(LL i=1;i<=n;i++) a[i]=A.a[M-n+i],b[i]=B.a[M-n+i];
33     for(LL i=1;i<=n;i++) f[i]=(f[i-1]*10+a[i])%MOD,g[i]=(g[i-1]*10+b[i])%MOD;
34     for(LL i=n;i;i--) F[i]=(F[i+1]+a[i]*mi[n-i])%MOD,G[i]=(G[i+1]+b[i]*mi[n-i])%MOD;
35     Mi[n+1]=1; for(LL i=n;i;i--) Mi[i]=Mi[i+1]*10%MOD;
36     
37     for(LL i=1;i<=n;i++){
38         for(LL num1=0;num1<10;num1++)
39         for(LL num2=0;num2<10;num2++){
40             LL cha=abs(num1-num2),mul1=0,mul2=0;
41             if(num1<a[i]) mul1=(f[i-1]+1)*mi[n-i]%MOD;
42             if(num1==a[i]) mul1=(f[i-1]*Mi[i+1]%MOD+F[i+1]+1)%MOD;
43             if(num1>a[i]) mul1=f[i-1]*Mi[i+1]%MOD;
44             
45             if(num2<b[i]) mul2=(g[i-1]+1)*mi[n-i]%MOD;
46             if(num2==b[i]) mul2=(g[i-1]*Mi[i+1]%MOD+G[i+1]+1)%MOD;
47             if(num2>b[i]) mul2=g[i-1]*Mi[i+1]%MOD;
48         
49             res=(res+mul1*mul2%MOD*cha)%MOD;
50         }
51     }
52     return res;
53 }
54 
55 int main(){
56     L.rd(); R.rd();
57     LL ans=0;
58     A=R; B=R;
59     ans=solve();
60     A=L; A.jian();
61     ans=(ans-2*solve()+2*MOD)%MOD;
62     B=L; B.jian();
63     ans=(ans+solve())%MOD;
64     cout<<ans<<endl;
65 }

【xsy1611】 數位dp 數位dp