前言

\(CDQ\)分治是一個神奇的算法。

它有著廣泛的用途，甚至在某些題目中還能取代\(KD-Tree\)、樹套樹等惡心的數據結構成為正解，而且常數還小得多。

不過它也有一定的缺點，如必須離線操作，遇到強制在線的題目還是老老實實打樹套樹吧... ...

核心思想

\(CDQ\)分治的核心思想真的是非常簡單，也就是分與治二字（其實所有分治算法都是這樣）。

• 分： 與常見的二分一樣，將\([l,r]\)區間內的問題分成兩個區間\([l,mid]\)和\([mid+1,r]\)解決。
• 治： \(CDQ\)分治中的治這一部分就十分玄學了，它的思想是利用左區間來求解右區間，這與普通的分治就大不一樣了。

這樣講畢竟還是十分抽象，讓我們來借助一道經典例題，來粗略地見識一下\(CDQ\)分治的神奇所在。

經典例題：【BZOJ3262】陌上花開

這道題目大致題意就是要你求三維偏序。

關於二維偏序

談到三維偏序，我們可能首先會想到二維偏序。

或許有些人不知道什麽是二維偏序，但它的另一個名稱——逆序對你總知道吧。

二維偏序一般可以用樹狀數組或歸並排序來解決。

關於用樹狀數組，其實我們接下來還要用到。

而對於歸並排序，可以發現它其實也是借助了左區間來求解右區間，或許也能算作一個比較\(Simple\)的\(CDQ\)分治？（大霧）

好了，關於逆序對我們就扯到這裏，下面我們來看看如何用\(CDQ\)分治求解三維偏序。

如何求解三維偏序

• 對於第一維
  • 首先第一步是將數據按照第一維\(x\)進行排序。
  • 這樣就能保證第一維是有序的了。
• 對於第二維
  • 接下來，在每一次處理完兩個子區間的答案後（註意，一定要先處理子區間，因為接下來的排序會打亂元素的順序），我們再將這兩個子區間分別按照第二維\(y\)排序。
  • 此時，我們依然可以保證，左區間內每個元素的第一維始終小於右區間內每個元素的第一維。（這應該是顯然的吧）
• 對於第三維
  • 我們可以用\(i\)和\(j\)分別記錄右區間和左區間當前處理到的點。
  • 對於每一個\(y_j\le y_i\)的\(j\)，我們可以將其第三維\(z\)加入樹狀數組。
  • 由於兩個區間經過排序，\(y\)
    的大小是遞增的，所以\(j\)的大小也是遞增的，這樣就能穩定時間復雜度。
  • 現在，我們已經保證在樹狀數組中的所有元素，它的前兩維皆\(\le\)當前\(i\)的前兩維。因此，我們只要求出有多少個\(z\le z_i\)即可，用樹狀數組可以快速做到這一點。
  • 這樣一來，就能計算出\(i\)的三維偏序數量了。

大致就是這樣一個過程，一次沒有看明白的可以再多看幾遍理解一下。

最後註意一個細節：千萬記得清空樹狀數組！而且千萬記得不要直接\(memset\)！

代碼

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define uint unsigned int
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
#define INF 1e9
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=MOD&&(x-=MOD))
#define ten(x) (((x)<<3)+((x)<<1))
#define N 100000
using namespace std;
int n,m,nn;
struct value
{
    int x,y,z,v,tot;
    inline friend bool operator == (value x,value y) {return !(x.x^y.x||x.y^y.y||x.z^y.z);}
}s[N+5];
class FIO
{
    private:
        #define Fsize 100000
        #define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
        #define pc(ch) (FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))
        int f,FoutSize,OutputTop;char ch,Fin[Fsize],*FinNow,*FinEnd,Fout[Fsize],OutputStack[Fsize];
    public:
        FIO() {FinNow=FinEnd=Fin;}
        inline void read(int &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^‘-‘?1:-1;while(x=ten(x)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}
        inline void read_char(char &x) {while(isspace(x=tc()));}
        inline void read_string(string &x) {x="";while(isspace(ch=tc()));while(x+=ch,!isspace(ch=tc())) if(!~ch) return;}
        inline void write(int x) {if(!x) return (void)pc(‘0‘);if(x<0) pc(‘-‘),x=-x;while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;}
        inline void write_char(char x) {pc(x);}
        inline void write_string(string x) {register int i,len=x.length();for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);}
        inline void end() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}
}F;
inline bool cmp_x(value x,value y) {return x.x^y.x?x.x<y.x:(x.y^y.y?x.y<y.y:x.z<y.z);}//按第一維排序
inline bool cmp_y(value x,value y) {return x.y^y.y?x.y<y.y:x.z<y.z;}//按第二維排序
class Class_CDQ//CDQ分治
{
    private:
        int ans[N+5];//最後統計答案
        class Class_BIT//樹狀數組
        {
            private:
                #define M 200000
                #define lowbit(x) ((x)&-(x))
                int data[M+5];
            public:
                inline void Add(int x,int v) {while(x<=m) data[x]+=v,x+=lowbit(x);}//插入元素
                inline int Query(int x,int ans=0) {while(x) ans+=data[x],x-=lowbit(x);return ans;}//詢問≤x的數的和
        }BIT;
    public:
        inline void Solve(int l,int r)//求解l到r這段區間內的答案
        {
            if(l>=r) return;
            register int mid=l+r>>1,i,j=l;
            Solve(l,mid),Solve(mid+1,r),sort(s+l,s+mid+1,cmp_y),sort(s+mid+1,s+r+1,cmp_y);//切記先求解子區間，然後再排序，排序之後依然能保證右區間第一維大於左區間第一維
            for(i=mid+1;i<=r;++i)
            {
                while(j<=mid&&s[j].y<=s[i].y) BIT.Add(s[j].z,s[j].v),++j;//對於每一個y[j]≤y[i]的j，將z[j]插入樹狀數組
                s[i].tot+=BIT.Query(s[i].z);//求出樹狀數組中≤z[i]的所有元素之和，從而更新i的三維偏序個數
            }
            for(i=l;i<j;++i) BIT.Add(s[i].z,-s[i].v);//切記要這樣清空樹狀數組，memset會T飛（親身實踐）
        }
        inline void PrintAns()
        {
            register int i;
            for(i=1;i<=n;++i) ans[s[i].tot+s[i].v-1]+=s[i].v;//統計答案
            for(i=0;i<nn;++i) F.write(ans[i]),F.write_char(‘\n‘);//輸出
        }
}CDQ;
int main()
{
    register int i;
    for(F.read(nn),F.read(m),i=1;i<=nn;++i) F.read(s[i].x),F.read(s[i].y),F.read(s[i].z),s[i].v=1;
    for(sort(s+1,s+nn+1,cmp_x),i=1;i<=nn;++i) n&&s[n]==s[i]?++s[n].v:(s[++n]=s[i],0);//按照第一維排序，然後去重，從而提高時間效率
    return CDQ.Solve(1,n),CDQ.PrintAns(),F.end(),0;//用CDQ分治求解
}

後記

關於\(CDQ\)分治求解三維偏序，還有一道比較好的題目：【洛谷3157】[CQOI2011] 動態逆序對，可以去做一做。
（這道題卡樹套樹，我的 線段樹套\(Treap\) 只得了\(80\)分，於是為做這題來學了\(CDQ\)分治）

CDQ分治入門