轉自http://www.matrix67.com/blog/archives/361

 下面這種方法可以很有效地求出根號a的近似值：首先隨便猜一個近似值x，然後不斷令x等於x和a/x的平均數，迭代個六七次後x的值就已經相當精確了。
    例如，我想求根號2等於多少。假如我猜測的結果為4，雖然錯的離譜，但你可以看到使用牛頓迭代法後這個值很快就趨近於根號2了：

(       4  + 2/   4     ) / 2 = 2.25
(    2.25  + 2/   2.25  ) / 2 = 1.56944..
( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189..
( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423..
….

       
    這種演算法的原理很簡單，我們僅僅是不斷用(x,f(x))的切線來逼近方程x^2-a=0的根。根號a實際上就是x^2-a=0的一個正實根，這個函式的導數是2x。也就是說，函式上任一點(x,f(x))處的切線斜率是2x。那麼，x-f(x)/(2x)就是一個比x更接近的近似值。代入f(x)=x^2-a得到x-(x^2-a)/(2x)，也就是(x+a/x)/2。
    同樣的方法可以用在其它的近似值計算中。Quake III的原始碼中有一段非常牛B的開方取倒函式。