NOIP 2017 試題研究

D1T1 小凱的疑惑 (45 min)

看到題面，大概是推數學公式。

先打暴力表，觀察 \(a,b\) 與 \(n\) 的關係。猜想 \(a×b−a−b\)。

引理：對於正整數 \(p , q\) 滿足 \(\gcd(p, q) = 1\), 使得 \(px + qy = n\) 無非負整數解的最大正整數 \(n\) 為 \(pq - p - q\).

使用反證法證明，即假設存在正整數 \(x\) 和 \(y\) 使得 \(px + qy = pq - p - q\)，證明矛盾。期望得分 100 分。

沒辦法一眼望穿？觀察到答案更接進於 \(a\times b\)

D1T2 時間複雜度 (1 h)

一眼望穿，模擬 + 字串 + 棧結構。

然後死在模擬的過程中……期望得分 0 分。

絕對不能沒把整個題目推完就開始寫。先在草稿紙上把所有要注意的點寫出來，列出清單。

在草稿紙上列出模擬的所有標記變數的含義和作用。在草稿紙上寫出大致程式碼層結構，標出特判和標記變數作用的位置。（其實程式碼大致就出來了。）

上機實現。期望得分 100 分。

此類題目（模擬 + 字串）嚴重考察細心和耐心。如果你的思路清晰，程式碼嚴謹工整，就不會過不去樣例……

D1T3 逛公園 (45 min)

DP + 拓撲序 + 最短路

觀察題目。啥都看不出來？先打暴力。

容易發現，Day 1 還沒有考 DP。注意到 \(K\le 50\)，猜測這是一個與 \(k\) 有關的 DP。

特殊情況 1：當 \(K=0\) 時，最短路計數！

最短路計數：

Dijkstra 堆優化 或 SPFA（死了）。

定義一個新變數陣列 cnt，cnt[S]=1。更新邊長的時候如果大於號就覆蓋（cnt[to[i]]=cnt[x]），相等的話（即有相同最短路徑）就相加（cnt[to[i]]+=cnt[x]）。無邊權即邊權為 1。

注意模法。實現難度 [普及+/提高]。

期望得分 30 分。

特殊情況 2：然後考慮 沒有 0 邊 的情況。構造 DP 求解。寫不出來……期望得分 30 分。

然後回過頭檢查 T1、T2 的程式碼。千萬不要放空！放個 rand()%mod 也行啊……要愛惜分數。

D2T1 乳酪 (45 min)

觀察到本題適合使用並查集。（NOIP 考點之一。）

距離要預處理。

實現難度 [普及/提高-]。期望得分 100 分。

D2T2 寶藏 (1 h 30 min)

狀壓 DP。思路難想！期望騙分 0 分。

寫不出來狀壓 DP……顯然要考慮部分分。DFS + 剪枝！暴搜演算法的時間複雜度是 \(O(\)玄學\()\)。不要忘記低階演算法的重要性，暴搜 AC 什麼的大有人在。期望騙分 ?? 分。

D2T3 列隊 (45 min)

標算是樹狀陣列。想不到……想到了也不會寫……

考慮部分分採用離散化思想。

對於 \(x_i=1\) 的情況，轉化為：

對於一個序列，支援操作 (1) 刪除第 \(k\) 個元素；(2) 在末尾新增一個元素。

嘗試用樹狀陣列實現。

維護一個 01 序列，第 \(i\) 位上是 0 表示這個位置上的數已經被刪除了或者還沒有被插入，第 \(i\) 位上是 1 表示這一位上的數沒有被刪除。

那麼刪除操作就是 1 → 0，插入操作就是 0 → 1。第 \(k\) 個元素就是字首和為 \(k\) 的位置。樹狀陣列二分。

– PinkRabbit

其他就完全不會了。期望得分 30 分。（模擬得分）

總結

樂觀估計為 360+?? 分。可見去年的難度還是很高的。如果暴搜寫得給力能拿 400 分，如果字串模擬炸了，那就省一無望了。（畢竟去年 FJ 省一線 300 分。復旦自招線 360 分……）

如何發揮超常正常？首先該拿的分數堅決不能丟掉。字串模擬、暴搜剪枝，還有最短路和並查集的板子，一定要寫出來。DP 能推的儘量推，部分分能騙的儘量騙……

明明所有考點都是 NOIP 範圍內的，明明我也會 DAG 上 DP、狀壓 DP、樹狀陣列……可見還是學藝不精，有待提高。

括號中標記的是完成核心程式碼的理論時間。實際上，一旦陷入 bug 的泥潭就很難出去了……

祝 NOIP 2018 RP \(\rightarrow\infty\)！