矩陣特徵值

設 A 是n階方陣，如果存在數m和非零n維 列向量 x，使得 Ax=mx 成立，則稱 m 是矩陣A的一個特徵值（characteristic value)或 本徵值（eigenvalue)。

矩陣特徵值方法

對於矩陣A，由AX=λ ₀X，λ ₀EX=AX，得[λ ₀E-A]X=θ即齊次線性方程組 有非零解的充分必要條件是： 即說明特徵根是特徵多項式|λ ₀E-A| =0的根，由代數基本定理 有n個復根λ ₁,λ ₂,…,λ _n，為A的n個特徵根。當特徵根λ _i(I=1,2,…,n)求出後，(λ _iE-A)X=θ是齊次方程，λ _i均會使|λ _iE-A|=0，(λ _iE-A)X=θ必存在非零解，且有無窮個解向量，(λ _iE-A)X=θ的基礎解系以及基礎解系的線性組合都是A的特徵向量。

矩陣特徵值示例

求矩陣 的特徵值與特徵向量。 解：由特徵方程

解得A有2重特徵值λ ₁=λ ₂=-2，有單特徵值λ ₃=4。 對於特徵值λ ₁=λ ₂=-2，解方程組(-2E-A)x=θ 得同解方程組x ₁-x ₂+x ₃=0，解為x ₁=x ₂-x ₃(x ₂,x ₃為自由未知量)。分別令自由未知量 得基礎解系 所以A的對應於特徵值λ ₁=λ ₂=-2的全部特徵向量為x=k ₁ξ ₁+k ₂ξ ₂(k ₁,k ₂不全為零)，可見，特徵值λ=-2的特徵向量空間是二維的。注意，特徵值在重根時，特徵向量空間的維數是特徵根的 重數。 對於特徵值λ ₃=4，方程組(4E-A)x=q 得同解方程組為 通解為 令自由未知量x ₃=2得基礎解系ξ ₃ ，所以A的對於特徵值λ ₃=4得全部特徵向量為x= k ₃ξ _{3。 ^[1]}