題面：[NOIP2017]寶藏

題面：

　　首先我們觀察到，如果直接DP，因為每次轉移的代價受上一個狀態到底選了哪些邊的影響，因此無法直接轉移。

　　所以我們考慮分層DP，即每次強制現在加入的點的距離為k（可能實際上小於k），這樣就可以忽略掉上個狀態選了哪些邊的影響了。

　　所以這樣為什麼是正確的呢？

　　設f[i][j]表示DP到第i層，狀態為j的最小代價。（即每層離起點最遠的點的距離為i - 1，所以下次轉移的點距離為i）

　　那麼如果一個點被錯誤的計算了代價，當且僅當這個點離起點的距離小於i，但我們依然按照i的距離來計算了代價。

　　那麼可以證明，這個點一定會在正確的層數被計算一次（i之前的某一層），那麼由於當前層數導致代價被多算，因此肯定沒那麼優，所以不會對答案造成影響。

　　因此我們直接DP即可。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define R register int
 4 #define AC 15
 5 #define ac 12000
 6 #define inf 2139062143
 7 #define LL long long
 8 
 9 int n, m, maxn, ans = inf;
10 int f[AC][ac], in[AC], g[AC][AC], dis[ac][AC];
11 
12 inline int
 
 read()
13 {
14     int x = 0;char c = getchar();
15     while(c > '9' || c < '0') c = getchar();
16     while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
17     return x;
18 }
19 
20 inline void upmin(int &a, int b){
21     if(b < a) a = b;
22 }
23 
24
 
 void pre()
25 {
26     n = read(), m = read(), maxn = (1 << n) - 1;
27     memset(g, 127, sizeof(g));
28     for(R i = 1; i <= m; i ++)
29     {
30         int a = read(), b = read(), c = read();
31         upmin(g[a][b], c), upmin(g[b][a], c);
32     }
33     int tmp = 1;
34     for(R i = 1; i <= n; i ++)
35         in[i] = tmp, tmp <<= 1, g[i][i] = 0;
36 }
37 
38 void get()//獲取所有聯通塊到各個點的距離，預處理可以降低複雜度
39 {
40     memset(dis, 127, sizeof(dis));
41     for(R k = 1; k <= maxn; k ++)
42     {
43         for(R i = 1; i <= n; i ++)//列舉集合內的一點
44         {
45             if(!(k & in[i])) continue;
46             for(R j = 1; j <= n; j ++)
47             {
48                 if(k & in[j]) dis[k][j] = 0;
49                 else upmin(dis[k][j], g[i][j]);
50             }
51         }
52     }
53 }    
54 
55 void work()
56 {
57     memset(f, 127, sizeof(f));
58     for(R k = 1; k <= n + 1; k ++)//列舉當前層(走下一步的最遠距離)
59     {
60         for(R i = 1; i <= n; i ++) f[k][in[i]] = 0;
61         upmin(ans, f[k][maxn]);    
62         for(R i = 1; i <= maxn; i ++)//列舉狀態
63         {
64             if(f[k][i] == inf) continue;//不判斷這個可能會爆int
65             int s = i ^ maxn;//獲取補集
66             for(R j = s; j; j = (j - 1) & s)//列舉補集的子集
67             {
68                 int tmp = 0;bool flag = true;
69                 for(R l = 1; l <= n; l ++)
70                 {
71                     if(!(j & in[l])) continue;//如果不在這個子集中就跳過
72                     if(dis[i][l] == inf) {flag = false; break;}
73                     tmp += k * dis[i][l];
74                 }
75                 if(flag) upmin(f[k + 1][i | j], f[k][i] + tmp);
76             }
77         }
78     }
79     printf("%d\n", ans);
80 }
81 
82 int main()
83 {
84 //    freopen("in.in", "r", stdin);
85     pre();
86     get();
87     work();
88 //    fclose(stdin);
89     return 0;
90 }