BZOJ1257: [CQOI2007]餘數之和

Description

給出正整數n和k，計算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值其中k mod i表示k除以i的餘數。 例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7

Input

輸入僅一行，包含兩個整數n, k。 1<=n ,k<=10^9

Output

輸出僅一行，即j(n, k)。

Sample Input

5 3

Sample Output

7

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題解Here!

題目要求：$$Ans=\sum_{i=1}^n(k\%i)$$ 首先，我們要知道一個公式：$$a\%b=a-b\times\lfloor\frac{a}{b}\rfloor$$ 於是：$$Ans=\sum_{i=1}^n(k-i\times\lfloor\frac{k}{i}\rfloor)$$ $$\Rightarrow Ans=n\times k-\sum_{i=1}^n(i\times\lfloor\frac{k}{i}\rfloor)$$ 知道懵逼鎢絲反演的應該都會算後面那個——數論分塊。 複雜度$O(\sqrt n)$。 記得特判邊界。 附程式碼：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,k,ans;
inline int read(){
	int date=0,w=1;char c=0;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
	return date*w;
}
void work(){
	n=read();k=read();
	ans=n*k;
	for(long long i=1,last=1;i<=n;i=last+1){
		if(k/i!=0)last=min(k/(k/i),n);
		else last=n;
		ans-=1LL*(last-i+1)*(k/i)*(i+last)/2;
	}
	printf("%lld\n",ans);
}
int main(){
	work();
	return 0;
}