演算法學習——卡特蘭數
聯賽前複習一點東西吧。。。
計算公式：
\[h_{n} = h_{0} \cdot h_{n - 1} + h_{1} \cdot h_{h - 2} + ... + h_{n - 1} \cdot h_{0}\]
\[h_{n} = h_{n - 1} \cdot (4n - 2) / (n + 1)\]
\[h_{n} = \frac{\binom{2n}{n}}{n + 1} = \frac{C_{2n}^{n}}{n + 1}\]
\[h_{n} = \binom{2n}{n} - \binom{2n}{n+1}\]
常見應用
1，出棧序列方案數。
思路：對於第一個出棧的元素k，可以看做k把1～n的序列分成了1～k - 1 和 k + 1 ~ n.分出來的小序列長度分別為k - 1和n - k.於是可以看做2個新的子問題。通過列舉k，可以得到
\(f_{n} = f_{0} \cdot f_{n - 1} + f_{1} \cdot f_{n - 2} + ... + f_{n - 1} \cdot f_{0}\)
相似的問題還有\(S = a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n}\)這個表示式有多少種加括號的方式，也是可以列舉第一次加括號把剩下的部分分別分成了多大的2部分，然後變成2個子問題求解。
還可以用一一對應原則來證明：
一個合法的出棧序列可以看做一串長為2n的01串，設1表示入棧，0表示出棧，那麼合法序列必須滿足對於任意位置，字首中1的個數 >= 字首中0的個數。
如果不考慮這個限制，一個長為2n，有n個1，n個0的01串的數量為\(\binom{2n}{n}\).再考慮除去不合法的情況。
對於任意不合法串，一定可以找到第一個使得串不合法的位置，恰好滿足有\(m + 1\)
那麼合法的方案數即為\(\binom{2n}{n} - \binom{2n}{n + 1} = h_{n}\)
2,括號匹配方案數
n對括號的匹配方案數恰好為\(h_{n}\)
思路：相當於有2n個符號，n個左括號，n個右括號。且每個左括號匹配時，必須使得被匹配上的右括號與當前左括號中間的字元數為偶數，否則就不合法了。
於是可以列舉第一個被匹配上的括號是哪一個，若第0個與第1個匹配，那麼剩下的2部分就是一個長度為0，一個長度為2n - 2,因此方案數為\(f_{0} \cdot f_{2n - 2}\)，以此類推可以得到表示式\(f_{2n} = f_{0} \cdot f_{2n - 2} + f_{2} \cdot f_{2n - 4} + ... + f_{2n - 2} \cdot f_{0}\)
算一下可以發現\(f_{2n} = h_{n}\).其實上面的出棧序列也可以看做一個元素即為一對括號，入棧 = 左括號，出棧 = 右括號。也可以採用同樣的遞推方式.
3，n個節點構成的二叉樹個數
方案數為\(h_{n}\)
思路：首先root佔一個點，然後列舉左右兒子分別有多少個點，最後的式子化出來即為卡特蘭數
4，在圓上選擇2n個點，將這些點分成很多個點對兩兩相連使得得到的n條線段不相交的方案數。
方案數為\(h_{n}\).
思路：類似與括號匹配問題，列舉一個點與哪個點匹配，將剩下的點分成了點數分別為多少的2個部分。因為要求線段兩兩不相交，所以被分割出來的每一部分的點數都必須為偶數，否則一定會有點被孤立出來並且必須跟另一部分連邊。
5，凸多邊形劃分成多個三角形的方案數。
方案數為\(h_{n - 2}\).
思路：隨意選一條邊，然後在剩餘頂點中隨便選一個構成一個三角形，然後這個三角形把原圖形分割成2部分，繼續遞迴求解。
6,2n個人排隊買票，票價5元，n個人有一張5元，n個人有1張10元。問使得每個有10元的人買票時都可以有零錢返還的方案數。
方案數為\(h_{n}\)
思路：類似與括號匹配，相當於每個10元的人，都必須在它前面有一個5元跟他匹配。於是就轉化為了括號匹配問題。
也可以轉化為二維平面上的問題。從左下角走到右上角，向右走為5元，向上為10元，那麼目的就是求從左下角走到右上角，不經過對角線的方案數。
7，用n個長方形填充一個高度為n的階梯狀圖形的方法個數。
方案數為\(h_{n}\).
思路：不知道、、、、