51Nod 1020 - 逆序排列(DP)
題目連結 http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1020
【題目描述】
在一個排列中,如果一對數的前後位置與大小順序相反,即前面的數大於後面的數,那麼它們就稱為一個逆序。一個排列中逆序的總數就稱為這個排列的逆序數。
如2 4 3 1中,2 1,4 3,4 1,3 1是逆序,逆序數是4。
1-n的全排列中,逆序數最小為0(正序),最大為n*(n-1) / 2(倒序)
給出2個數n和k,求1-n的全排列中,逆序數為k的排列有多少種?
例如:n = 4 k = 3。
1 2 3 4的排列中逆序為3的共有6個,分別是:
1 4 3 2
2 3 4 1
2 4 1 3
3 1 4 2
3 2 1 4
4 1 2 3
由於逆序排列的數量非常大,因此只需計算並輸出該數 Mod 10^9 + 7的結果就可以了。
Input
第1行:一個數T,表示後面用作輸入測試的數的數量。(1 <= T <= 10000)
第2 - T + 1行:每行2個數n,k。中間用空格分隔。(2 <= n <= 1000, 0 <= k <= 20000)
Output
共T行,對應逆序排列的數量 Mod (10^9 + 7)
Input示例
1
4 3
Output示例
6
【思路】
設
表示
的全排列中逆序對數有
對的排列的個數,那麼考慮在
的排列中插入新的元素
,如果插入之後
後面有
個元素,那麼就會新增
個逆序對,所以有狀態轉移
這裡求和上限不只是 而是 是因為將 插入到 的排列中最多產生 個新的逆序對,然後注意觀察方程,其實計算 時就是計算 上的一段連續和,用一個數組 維護一下上一行的字首和就可以省去求和的步驟了
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1005;
const int maxk=20005;
const int mod=1e9+7;
int s[maxk];
int dp[maxn][maxk];
void solve(){
dp[1][0]=1;
for(int i=2;i<maxn;++i){
s[0]=dp[i-1][0];
for(int j=1;j<maxk;++j) s[j]=((long long)s[j-1]+(long long)dp[i-1][j])%mod;
for(int j=0;j<maxk;++j){
if(j<i) dp[i][j]=s[j];
else dp[i][j]=(((long long)s[j]-(long long)s[j-i])%mod+mod)%mod;
}
}
}
int main(){
solve();
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--){
int n,k;
scanf("%d%d",&n,&k);
printf("%d\n",dp[n][k]);
}
return 0;
}