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在介紹SG函式和SG定理之前我們先介紹介紹必勝點與必敗點吧.

必勝點和必敗點的概念：
P點：必敗點，換而言之，就是誰處於此位置，則在雙方操作正確的情況下必敗。
N點：必勝點，處於此情況下，雙方操作均正確的情況下必勝。
必勝點和必敗點的性質：
1、所有終結點是 必敗點 P 。（我們以此為基本前提進行推理，換句話說，我們以此為假設）
2、從任何必勝點N 操作，至少有一種方式可以進入必敗點 P。
3、無論如何操作，必敗點P 都只能進入 必勝點 N。
我們研究必勝點和必敗點的目的時間為題進行簡化，有助於我們的分析。通常我們分析必勝點和必敗點都是以終結點進行逆序分析。我們以hdu 1847 Good Luck in CET-4 Everybody!為例：
當 n = 0 時，顯然為必敗點，因為此時你已經無法進行操作了
當 n = 1 時，因為你一次就可以拿完所有牌，故此時為必勝點
當 n = 2 時，也是一次就可以拿完，故此時為必勝點
當 n = 3 時，要麼就是剩一張要麼剩兩張，無論怎麼取對方都將面對必勝點，故這一點為必敗點。
以此類推，最後你就可以得到；
n ： 0 1 2 3 4 5 6 …
position： P N N P N N P …
你發現了什麼沒有，對，他們就是成有規律，使用了 P/N來分析，有沒有覺得問題變簡單了。
現在給你一個稍微複雜一點點的： hdu 2147 kiki’s game
現在我們就來介紹今天的主角吧。組合遊戲的和通常是很複雜的，但是有一種新工具，可以使組合問題變得簡單————SG函式和SG定理。

Sprague-Grundy定理（SG定理）：
遊戲和的SG函式等於各個遊戲SG函式的Nim和。這樣就可以將每一個子遊戲分而治之，從而簡化了問題。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim遊戲中的直接應用，因為單堆的Nim遊戲 SG函式滿足 SG(x) = x。對博弈不是很清楚的請參照http://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6398385.html進行進一步理解。

SG函式：
首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於一個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

對於任意狀態 x ， 定義 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 後繼狀態的SG函式值的集合。如 x 有三個後繼狀態分別為 SG(a),SG(b),SG©，那麼SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG©}。 這樣 集合S 的終態必然是空集，所以SG函式的終態為 SG(x) = 0,當且僅當 x 為必敗點P時。

【例項】取石子問題

有1堆n個的石子，每次只能取{ 1, 3, 4 }個石子，先取完石子者勝利，那麼各個數的SG值為多少？

SG[0]=0，f[]={1,3,4},

x=1 時，可以取走1 - f{1}個石子，剩餘{0}個，所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;

x=2 時，可以取走2 - f{1}個石子，剩餘{1}個，所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;

x=3 時，可以取走3 - f{1,3}個石子，剩餘{2,0}個，所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;

x=4 時，可以取走4- f{1,3,4}個石子，剩餘{3,1,0}個，所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;

x=5 時，可以取走5 - f{1,3,4}個石子，剩餘{4,2,1}個，所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;

以此類推…

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8…

SG[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1…

由上述例項我們就可以得到SG函式值求解步驟，那麼計算1~n的SG函式值步驟如下：

1、使用 陣列f 將 可改變當前狀態 的方式記錄下來。

2、然後我們使用 另一個數組 將當前狀態x 的後繼狀態標記。

3、最後模擬mex運算，也就是我們在標記值中 搜尋 未被標記值 的最小值，將其賦值給SG(x)。

4、我們不斷的重複 2 - 3 的步驟，就完成了 計算1~n 的函式值。

程式碼實現如下：

//f[N]:可改變當前狀態的方式，N為方式的種類，f[N]要在getSG之前先預處理
//SG[]:0~n的SG函式值
//S[]:為x後繼狀態的集合
int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];
void  getSG(int n){
    int i,j;
    memset(SG,0,sizeof(SG));
    //因為SG[0]始終等於0，所以i從1開始
    for(i = 1; i <= n; i++){
        //每一次都要將上一狀態 的 後繼集合 重置
        memset(S,0,sizeof(S));
        for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)
            S[SG[i-f[j]]] = 1;  //將後繼狀態的SG函式值進行標記
        for(j = 0;; j++) if(!S[j]){   //查詢當前後繼狀態SG值中最小的非零值
            SG[i] = j;
            break;
        }
    }
}

練習題目：hdu1848
傳送門：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1848

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXN 1000 + 10
#define N 20
int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];
void getSG(int n){
    int i,j;
    memset(SG,0,sizeof(SG));
    for(i = 1; i <= n; i++){
        memset(S,0,sizeof(S));
        for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)
            S[SG[i-f[j]]] = 1;
        for(j = 0;;j++) if(!S[j]){
            SG[i] = j;
            break;
        }
    }
}
int main(){
    int n,m,k;
    f[0] = f[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= 16; i++)
        f[i] = f[i-1] + f[i-2];
    getSG(1000);
    while(scanf("%d%d%d",&m,&n,&k),m||n||k){
        if(SG[n]^SG[m]^SG[k]) printf("Fibo\n");
        else printf("Nacci\n");
    }
    return 0;
}

sg函式打表找規律：
模板：

(1)打表
(2)dfs，（當資料範圍太大，無法開出陣列的時候）

無論那種情況，在預處理的過程中都需要有一種意識就是，當你想算一個點的sg函式值時，必須要準確的判斷出該點所有的後繼情況

打表的模板：
//f[]：可以取走的石子個數
//sg[]:0~n的SG函式值
//hash[]:mex{}
int f[K],sg[N],hash[N];
void getSG(int n)
{
    memset(sg,0,sizeof(sg));
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        memset(hash,0,sizeof(hash));
        for(int j=0; f[j]<=i && j < k; j++) //k是f[]的有效長度
            hash[sg[i-f[j]]]=1;
        for(int j=0; ; j++)     //求mes{}中未出現的最小的非負整數
        {
            if(hash[j]==0)
            {
                sg[i]=j;
                break;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    ...
    memset(sg,-1,sizeof(sg));
    get_sg();
    if(sg[n]==0) //先手必敗
    else    //先手必勝

   //如果有多堆，則
   // num=sg[n1]^sg[n2]^sg[n3]^....^sg[nx];
   // if(num==0) 則先手必敗
   // else    先手必勝
    ...
}

dfs的模板：
//注意 S陣列要按從小到大排序 SG函式要初始化為-1 對於每個集合只需初始化1遍
//n是集合s的大小 S[i]是定義的特殊取法規則的陣列
int s[N],sg[N],n;
int getSG(int x)
{
    if(sg[x]!=-1)
        return sg[x];
    bool vis[M];
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        if(x>=s[i])
            vis[getSG(x-s[i])]=1;
    }
    for(i=0;; i++)
        if(!vis[i])
        {
            sg[x]=i;
            break;
        }
    return sg[x];
}