目錄

• 常數變易法
  • 為什麼寫這篇文章
  • 什麼是常數變易法？
  • 錯誤的理解
  • 常數變易法的原理
    • 基本
    • 計算
    • 總結
  • 參考資料

常數變易法

為什麼寫這篇文章

學過“常數變易法”的同學請直接點選“常數變易法的原理”
這裡只講述常數變易法的原理，為什麼要用常數變易法請參見參考資料《常數變易法的解釋 》

在學習高數的過程中，關於為什麼在解一階線性微分方程的時候要使用常數變易法，為什麼可以使用常數變易法，常數變易法為什麼是有效並且正確的，老師都語焉不詳，一筆帶過，導致一直不能很好地理解其中的數學思想。自己也只能接受老師的解釋，將這個方法強行合理化。

但是最近再次看到一階線性微分方程的求解，看到直接給出來的求解公式一頭霧水，再去翻書，始終還是感覺隔靴搔癢，霧裡看花，始終不自在，所以上網搜尋了一下，搜到了一篇相關文章（常數變易法的解釋），終於明白了其中蘊含的深刻而巧妙的數學思想，喜不自禁。

所以在此記錄下個人的理解，一則梳理自己的思路，二則可供感興趣的同學參考，倘能有助於大家理解常數變易法的“自然”性，亦是幸甚。

什麼是常數變易法？

有以下一階線性微分方程：\[ y' +P(x)y=Q(x) \tag1\]其中，\(P(x)\not \equiv 0\) 且 \(Q(x)\not \equiv 0\)。

若解其對應的齊次方程：\[ y' +P(x)y=0\tag2\]

這時，我們可以用常數變易法來求非齊次方程\((1)\)的通解，即將齊次方程\((2)\)的通解中的常數\(C\)換成（變易為）一個關於\(x\)的未知函式\(u(x)\)，變易之後，非齊次方程通解表示如下：\[y=u(x)\cdot e^{-\int P(x)dx} \Big(u(x)\not\equiv 0\Big)\tag3\]於是將該通解形式代入原方程\((1)\)，可以解得：\[u(x)=\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\]將上式代入\((3)\)式，即可解得：\[y=e^{-\int P(x)dx}\cdot (\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)\]

錯誤的理解

對於常數變易法，我以前的理解是：
既然 \(y=Ce^{-\int P(x)dx}(C\neq 0)\) 可以使齊次方程 \(y' +P(x)y=0\) 成立，那麼在其基礎上增添一個函式，就應該使得該方程運算結果多出一個與自由項相關的餘項\(Q(x)\)，所以可以使用常數變易法。
這樣的理解是基於表面形式做出的一個解釋，然而還是不能夠明確地說明這個方法的正當性與正確性。
所以我們需要進一步探究其內在的原理。

常數變易法的原理

基本

容易理解，我們可以把任意函式表示成為兩個函式之積，即 \[y(x)=u(x)\cdot v(x)\tag4\]對 \(y(x)\) 求導，得：\(y'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\)

計算

將 \(y(x)=u(x)\cdot v(x)\)，\(y'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\) 代入非齊次方程\((1)\)，整理得到：\[u'(x)v(x)+u(x)\cdot [v'(x)+P(x)v(x)]=Q(x)\tag5\]由解一階線性微分方程的常用方法分離變數法容易想到，如果沒有 \(u(x)\cdot [v'(x)+P(x)v(x)]\) 這一項，我們就可以簡便地利用分離變數法進行計算。
現在單獨考察 \(u(x)\cdot [v'(x)+P(x)v(x)]\) 這一項。其中 \(u(x)\) 不確定，不能用來保持 \(u(x)\cdot [v'(x)+P(x)v(x)]\not\equiv0\) ，所以考慮另一個因式 \(v'(x)+P(x)v(x)\) 。顯然 \(v(x)\) 是不確定的，在 \(u(x)\) 不確定的情況下，可以任意取值。則假設 \(v(x)\) 滿足 \[v'(x)+P(x)v(x)\equiv0\tag6\] 觀察式 \((6)\) ，可以看到其形式與式 \((2)\) 基本一致。
求解式 \((6)\)，可以得其通解形式：\[v(x)=C_1\cdot e^{-\int P(x)dx}(C\neq 0)\tag7\]將所得通解代入 \((4)\)，則\[y(x)=u(x)\cdot C_1\cdot e^{-\int P(x)dx}(C\neq 0)\tag8\]將 \((8)\) 式代入 \((5)\) 式，得到：\[u'(x)\cdot C_1\cdot e^{-\int P(x)dx}=Q(x)\]使用分離變數法，容易解得：\[u(x)=\frac1{C_1}\int Q(x)\cdot e^{\int P(x)dx}dx+C_2\tag9\]將 \((7)\) \((9)\) 同時代入式 \((4)\) ，則\[y(x)=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C_1C_2)\]令\(C=C_1C_2\)，則得原一階線性微分方程的通解為：\[y(x)=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)\]

總結

很顯然我們可以看到，常數變易法是蘊含了很深刻的數學思想、具有很強健的數學基礎的解題方法，並非無根之萍，更不是突發奇想或是強行合理。
但是從其原理上來講，將其稱呼為“常數變易法”是不太妥當的，本質上它並非是單純地使用一個函式來替代了齊次方程通解的常數。
常數變易法的稱呼應該說為了便於日常應用和直觀記憶，這裡可以不必糾結。

參考資料

[1] lookof,常數變易法的解釋
[2] 崔士襄,邯鄲農業高等專科學校,“常數變易法”來歷的探討