因子分析及R使用
阿新 • • 發佈：2018-11-12
目錄
什麼是因子分析
因子分析-factor analysis，就是尋找這些公共因子的模型分析方法，它是在主成分的基礎上構築若干意義較為明確的公因子，以他們為框架分解原變數，以此考察原變數間的聯絡與區別。因子分析就是從大量的資料中“由表及裡”、“去粗取精”，尋找影響或支配變數的多變數統計方法。
因子分析的主要用途在於：
（1）減少分析變數個數
（2）通過對變數間相關關係的探測，將原始變數進行分類，即將相關性高的變數分為一組，用共性因子代替該組變數。
因子分析與主成分分析區別
就統計上而言，主成分分析所側重的是如何轉換原始變數使之成為一些綜合性的新指標，其關鍵在於“變異數”的問題，與主成分分析不同的是，因子分析重視的是如何解決變數之間的“共變異數”問題，因為每一反應變數均為一些“公共因子變數”和”特殊性變數“的線性函式，其中“共同因子變數”可以反應變數間的共變數，而特殊性變數部分則只對其所屬的變數之變異數有所貢獻，所以主成分分析是“變異數”導向的方法，因子分析則是“共變異數”導向的方法。
因子分析也是資料縮減的一種多變數分析方法，它是基於資訊損失最小化而提出的一種非常有效的方法。它把眾多的指標綜合成為減少的幾個公共指標，這些指標即是因子，
因子的特點
（1）因子變數的數量遠遠少於原始變數個數
（2）因子變數並非原始變數的簡單取捨，而是新的綜合
（3）因子變數之間沒有線性關係
（4）因子變數具有明確解釋性，可最大限度的發揮專業分析的作用。
R語言實現
觀測資料較多，所以指標之間不可避免存在多重共線性問題，因此有必要先計算觀測資料的相關矩陣
x1 x2 x3 x4 x5 x6 冀東水泥 33.8 34.75 0.67 59.77 15.49 16.35 大同水泥 27.54 28.04 2.36 35.29 -20.96 -46.45 四川雙馬 22.86 23.47 0.61 42.83 5.48 -49.22 牡丹江 19.05 19.95 1 48.51 -12.32 -65.99 西水股份 20.84 21.17 1.08 48.45 65.09 54.81 獅頭股份 28.14 28.84 2.51 24.52 -6.43 -15.94 太行股份 30.45 31.13 1.02 46.14 6.57 -16.59 海螺水泥 36.29 36.96 0.27 58.31 70.85 117.59 尖峰集團 16.94 17.26 0.61 52.04 9.03 -94.05 四川金頂 28.74 29.4 0.6 65.46 -33.97 -55.02 祁連山 33.31 34.3 1.17 45.8 12.18 39.46 華新水泥 25.08 26.12 0.64 69.35 22.38 -10.2 福建水泥 34.51 35.44 0.38 61.61 23.91 -163.99 天鵝股份 25.52 26.73 1.1 47.02 -4.51 -68.79
複製資料，執行程式碼
> X=read.table("clipboard",header=T)#讀取例9.1資料
> cor(X)
x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1 1.00000000 0.9991983 -0.09974689 0.18850763 0.2010041 0.29778271
x2 0.99919830 1.0000000 -0.10420434 0.19672979 0.1903570 0.28747808
x3 -0.09974689 -0.1042043 1.00000000 -0.83715637 -0.4087603 0.01518741
x4 0.18850763 0.1967298 -0.83715637 1.00000000 0.2585103 -0.02928244
x5 0.20100410 0.1903570 -0.40876032 0.25851029 1.0000000 0.58029333
x6 0.29778271 0.2874781 0.01518741 -0.02928244 0.5802933 1.00000000
>
極大似然法
x1與x2高度正相關，x3與x4較強複相關，x5與x6呈中度相關。為消除各財務指標之間的相關性，採用因子分析法提取因子。
下面為極大似然法提取公因子：
> (FA0=factanal(X,3,rot="none"))#極大似然法因子分析
Call:
factanal(x = X, factors = 3, rotation = "none")
Uniquenesses:
x1 x2 x3 x4 x5 x6
0.005 0.005 0.005 0.271 0.005 0.548
Loadings:
Factor1 Factor2 Factor3
x1 0.950 -0.307
x2 0.948 -0.310
x3 -0.340 -0.782 0.517
x4 0.363 0.561 -0.531
x5 0.454 0.693 0.556
x6 0.383 0.163 0.527
Factor1 Factor2 Factor3
SS loadings 2.402 1.623 1.140
Proportion Var 0.400 0.271 0.190
Cumulative Var 0.400 0.671 0.861
The degrees of freedom for the model is 0 and the fit was 1.1422
>
由此可見，前三個因子所解釋的方差佔整個方差的86%以上，基本可以全面反映六項財務指標的資訊，即是Cumulative Var的值。所以我們提取前三個因子作為公共因子，但各因子的經濟含義不明顯，還需進行進一步分析，即因子旋轉法
主成分法因子分析
> library(mvstats)
載入程輯包：‘mvstats’
The following object is masked _by_ ‘.GlobalEnv’:
H.clust
> (Fac=factpc(X,3))#主成份法因子分析
$`Vars`
Vars Vars.Prop Vars.Cum
Factor1 2.570 0.4283 42.83
Factor2 1.713 0.2855 71.38
Factor3 1.249 0.2082 92.19
$loadings
Factor1 Factor2 Factor3
x1 0.7829 0.5029 -0.3624
x2 0.7811 0.4964 -0.3756
x3 -0.5786 0.7685 0.0802
x4 0.5951 -0.6990 -0.2415
x5 0.6317 -0.1457 0.6557
x6 0.5084 0.3367 0.6943
$scores
Factor1 Factor2 Factor3
冀東水泥 1.10805 0.19287 -0.40233
大同水泥 -1.07195 1.46385 -0.37413
四川雙馬 -0.58577 -0.49848 0.24193
牡丹江 -1.17442 -0.77791 0.08986
西水股份 -0.05264 -0.46073 2.31615
獅頭股份 -1.05007 2.04151 0.25174
太行股份 0.20807 0.48809 -0.23430
海螺水泥 2.20745 0.32524 1.16336
尖峰集團 -1.11541 -1.53235 0.39013
四川金頂 0.09714 -0.60602 -1.45691
祁連山 0.66096 1.03293 0.04173
華新水泥 0.41359 -1.08331 0.19805
福建水泥 0.86840 -0.53255 -1.82104
天鵝股份 -0.51340 -0.05315 -0.40422
$Rank
F Ri
冀東水泥 0.48359 3
大同水泥 -0.12910 8
四川雙馬 -0.37184 11
牡丹江 -0.76615 13
西水股份 0.35587 4
獅頭股份 0.20127 5
太行股份 0.19490 6
海螺水泥 1.38882 1
尖峰集團 -0.90457 14
四川金頂 -0.47152 12
祁連山 0.63632 2
華新水泥 -0.09863 7
福建水泥 -0.17273 9
天鵝股份 -0.34622 10
$common
x1 x2 x3 x4 x5 x6
0.9971 0.9976 0.9318 0.9011 0.8502 0.8539
> 主因子法比極大似然估計發提取效果好一些92.19%，因極大似然法要求資料來自多元正態分佈，這一點一般很難滿足。
因子旋轉法
建立因子模型，處理找出主因子，還要知道主因子的意義，如果因子代表的變數不是很突出，還需進行旋轉，正交旋轉和斜交旋轉是因子旋轉的兩類方法，最常用的是最大方差正交旋轉法-Varimax
> (Fa1=factanal(X,3,rot="varimax")) #varimax法旋轉因子分析
Call:
factanal(x = X, factors = 3, rotation = "varimax")
Uniquenesses:
x1 x2 x3 x4 x5 x6
0.005 0.005 0.005 0.271 0.005 0.548
Loadings:
Factor1 Factor2 Factor3
x1 0.983 0.155
x2 0.985 0.142
x3 -0.990 -0.124
x4 0.127 0.844
x5 0.293 0.953
x6 0.210 0.631
Factor1 Factor2 Factor3
SS loadings 1.998 1.800 1.367
Proportion Var 0.333 0.300 0.228
Cumulative Var 0.333 0.633 0.861
The degrees of freedom for the model is 0 and the fit was 1.1422
Loadings代表旋轉後的因子載荷，可以看出旋轉後的經濟意義十分明顯，F1在主營業務利潤率x1上的載荷大道0.983，在銷售毛利率x2上的載荷達到0.985，因此，因子F1代表企業的盈利能力，反應企業的投資收益情況，是資金週轉營運能力的結果，也是資金流動償債能力的基礎。因子F2代表了企業的償債能力，類似的，因子F3在主營業務收入增長率x5和營業利潤率x6上的載荷值分別是0.953和0.631，所以因子F3代表了企業的發展能力，反應企業持續經營發展能力的指標。
因子得分計算
因子模型建立後，還有一個重要的作用是應用因子分析模型去評價每個樣本在整個模型中的地位，即是進行綜合評價，例如，地區經濟發展的因子分析模型建立後，我們希望知道每個地區經濟發展的情況，吧區域經濟劃分歸類，那些地區發展較快，那些較慢，那些不快不慢等，這時需要將公共因子用變數的線性組合來表示，也即有地區經濟的各項指標值來估計它的因子得分。
就冀東水泥來說，他的盈利能力建好，償貸能力一般，發展能力中的偏下。
> Fa1=factanal(X,3,scores="regression")#使用迴歸估計法的極大似然法因子分析
> Fa1$scores
Factor1 Factor2 Factor3
冀東水泥 1.0571 0.49858 -0.01932
大同水泥 0.2508 -1.97182 -0.55062
四川雙馬 -0.7619 0.61936 -0.35643
牡丹江 -1.2622 0.10831 -0.82490
西水股份 -1.4124 -0.36520 2.09840
獅頭股份 0.2993 -2.28407 0.06540
太行股份 0.5368 -0.01725 -0.16548
海螺水泥 1.1383 0.86089 1.85549
尖峰集團 -1.7990 0.62143 -0.20236
四川金頂 0.4397 0.83905 -1.87521
祁連山 1.0220 -0.27756 0.10237
華新水泥 -0.4381 0.53317 0.26013
福建水泥 1.1144 0.91988 0.13561
天鵝股份 -0.1847 -0.08479 -0.52308
>
> Fac1=factpc(X,3,scores="regression")#使用迴歸估計法的主成份法因子分析
> Fac1$scores
Factor1 Factor2 Factor3
冀東水泥 1.10805 0.19287 -0.40233
大同水泥 -1.07195 1.46385 -0.37413
四川雙馬 -0.58577 -0.49848 0.24193
牡丹江 -1.17442 -0.77791 0.08986
西水股份 -0.05264 -0.46073 2.31615
獅頭股份 -1.05007 2.04151 0.25174
太行股份 0.20807 0.48809 -0.23430
海螺水泥 2.20745 0.32524 1.16336
尖峰集團 -1.11541 -1.53235 0.39013
四川金頂 0.09714 -0.60602 -1.45691
祁連山 0.66096 1.03293 0.04173
華新水泥 0.41359 -1.08331 0.19805
福建水泥 0.86840 -0.53255 -1.82104
天鵝股份 -0.51340 -0.05315 -0.40422
> 因子排名與做圖
下面是因子1的排名與做圖，應力能力最高的就是海螺水泥，福建水泥，冀東水泥，祁連山
> factanal.rank(Fa1,plot=T) #排名與做圖
$`Fs`
Factor1 Factor2 Factor3
冀東水泥 1.0570974 0.49858291 -0.01931786
大同水泥 0.2508467 -1.97181549 -0.55061886
四川雙馬 -0.7618827 0.61936154 -0.35643016
牡丹江 -1.2621905 0.10831340 -0.82489689
西水股份 -1.4124102 -0.36519764 2.09839517
獅頭股份 0.2992651 -2.28406622 0.06540023
太行股份 0.5367516 -0.01725097 -0.16547708
海螺水泥 1.1383136 0.86088890 1.85548532
尖峰集團 -1.7990483 0.62142573 -0.20235665
四川金頂 0.4396610 0.83905494 -1.87521145
祁連山 1.0220466 -0.27756182 0.10236965
華新水泥 -0.4381137 0.53317006 0.26012980
福建水泥 1.1143517 0.91988289 0.13560911
天鵝股份 -0.1846884 -0.08478822 -0.52308034
$Ri
F rank
冀東水泥 0.57762286 3
大同水泥 -0.73582797 14
四川雙馬 -0.17323177 9
牡丹江 -0.66885707 13
西水股份 -0.11845569 8
獅頭股份 -0.66290875 12
太行股份 0.15786371 5
海螺水泥 1.23140339 1
尖峰集團 -0.53300988 11
四川金頂 -0.03369328 7
祁連山 0.32577583 4
華新水泥 0.08514207 6
福建水泥 0.78759236 2
天鵝股份 -0.23941579 10
> 在因子得分圖中，綜合排名靠前的在第一象限，排名靠後的大多在第四象限，總得來說，各企業間的差距非常明顯，而且三種能力都好的企業很少，因此在水泥發展方面，各上市公司應該經常兼顧三種經營能力的協調發展，銳意改革，提供公司的業績。
因子資訊重疊圖
biplot(Fa1$scores,Fa1$loadings)#前2個因子資訊重疊圖 
例2
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
北京 4934.05 1512.88 981.13 1294.07 2328.51 2383.96 1246.19 649.66
天津 4249.31 1024.15 760.56 1163.98 1309.94 1639.83 1417.45 463.64
河北 2789.85 975.94 546.75 833.51 1010.51 895.06 917.19 266.16
山西 2600.37 1064.61 477.74 640.22 1027.99 1054.05 991.77 245.07
內蒙古 2824.89 1396.86 561.71 719.13 1123.82 1245.09 941.79 468.17
遼寧 3560.21 1017.65 439.28 879.08 1033.36 1052.94 1047.04 400.16
吉林 2842.68 1127.09 407.35 854.8 873.88 997.75 1062.46 394.29
黑龍江 2633.18 1021.45 355.67 729.55 746.03 938.21 784.51 310.67
上海 6125.45 1330.05 959.49 857.11 3153.72 2653.67 1412.1 763.8
江蘇 3928.71 990.03 707.31 689.37 1303.02 1699.26 1020.09 377.37
浙江 4892.58 1406.2 666.02 859.06 2473.4 2158.32 1168.08 467.52
安徽 3384.38 906.47 465.68 554.44 891.38 1169.99 850.24 309.3
福建 4296.22 940.72 645.4 502.41 1606.9 1426.34 1261.18 375.98
江西 3192.61 915.09 587.4 385.91 732.97 973.38 728.76 294.6
山東 3180.64 1238.34 661.03 708.58 1333.63 1191.18 1027.58 325.64
河南 2707.44 1053.13 549.14 626.55 858.33 936.55 795.39 300.19
湖北 3455.98 1046.62 550.16 525.32 903.02 1120.29 856.97 242.82
湖南 3243.88 1017.59 603.18 668.53 986.89 1285.24 869.59 315.82
廣東 5056.68 814.57 853.18 752.52 2966.08 1994.86 1444.91 454.09
廣西 3398.09 656.69 491.03 542.07 932.87 1050.04 803.04 277.43
海南 3546.67 452.85 519.99 503.78 1401.89 837.83 819.02 210.85
重慶 3674.28 1171.15 706.77 749.51 1118.79 1237.35 968.45 264.01
四川 3580.14 949.74 562.02 511.78 1074.91 1031.81 690.27 291.32
貴州 3122.46 910.3 463.56 354.52 895.04 1035.96 718.65 258.21
雲南 3562.33 859.65 280.62 631.7 1034.71 705.51 673.07 174.23
西藏 3836.51 880.1 271.29 272.81 866.33 441.02 628.35 335.66
陝西 3063.69 910.29 513.08 678.38 866.76 1230.74 831.27 332.84
甘肅 2824.42 939.89 505.16 564.25 861.47 1058.66 768.28 353.65
青海 2803.45 898.54 484.71 613.24 785.27 953.87 641.93 331.38
寧夏 2760.74 994.47 480.84 645.98 859.04 863.36 910.68 302.17
新疆 2760.69 1183.69 475.23 598.78 890.3 896.79 736.99 331.8
> X=read.table("clipboard",header=T)#讀取例7.2資料
> library(mvstats)
> Fac0=factpc(X,3)#因子分析
> Fac0$Vars#方差及貢獻率
Vars Vars.Prop Vars.Cum
Factor1 5.7012 0.71265 71.26
Factor2 1.0287 0.12858 84.12
Factor3 0.5043 0.06304 90.43
> 公因子F1幾乎佔據了所有重要指標，F2的x2相對較大，這兩個因子即可代表該城市的發達程度和消費水平。
> Fac1=factpc(X,3,rot="varimax")#運用旋轉因子分析
Factor Analysis for Princomp in Varimax:
> Fac1$Vars#方差及貢獻率
Vars Vars.Prop Vars.Cum
Factor1 4.016 50.20 50.20
Factor2 1.680 21.00 71.20
Factor3 1.538 19.22 90.43
> Fac0$loadings#因子載荷
Factor1 Factor2 Factor3
X1 0.8429 -0.43524 0.12432
X2 0.5956 0.68671 0.37005
X3 0.8926 -0.09008 -0.05094
X4 0.7202 0.47829 -0.44596
X5 0.8979 -0.32885 0.08740
X6 0.9647 -0.07045 0.06403
X7 0.8858 -0.05691 -0.31385
X8 0.8939 0.12018 0.20046
> Fac1$loadings#因子載荷
Factor1 Factor2 Factor3
X1 0.9463 0.1159 0.08084
X2 0.1527 0.2499 0.93676
X3 0.7580 0.4145 0.24728
X4 0.2249 0.8743 0.36250
X5 0.9231 0.2125 0.15722
X6 0.8252 0.3638 0.35547
X7 0.6864 0.6337 0.11656
X8 0.6843 0.2980 0.54462> Fac1$scores#因子得分
Factor1 Factor2 Factor3
北京 1.18092 1.74118 2.0290303
天津 0.20460 2.96179 -0.7387309
河北 -0.92649 1.20877 -0.4632058
山西 -0.78973 0.43269 -0.0522166
內蒙古 -0.62006 -0.18964 2.1005492
遼寧 -0.51315 1.07679 -0.1140626
吉林 -1.04765 1.15843 0.4542682
黑龍江 -1.16020 0.29219 0.2627968
上海 3.25451 -0.50217 1.4096665
江蘇 0.60518 0.14247 -0.2101378
浙江 1.38897 -0.19508 1.4370242
安徽 -0.15415 -0.44702 -0.3504643
福建 1.14760 -0.30179 -0.7812963
江西 -0.08324 -1.25789 -0.1147615
山東 -0.26270 0.28871 0.7222037
河南 -0.75769 -0.09266 0.3236384
湖北 -0.18783 -0.59587 0.0211735
湖南 -0.24456 0.06551 0.0408756
廣東 2.50339 0.69802 -1.7414243
廣西 0.01884 -0.23030 -1.5152172
海南 0.43204 -0.14803 -2.7440469
重慶 -0.16768 0.43917 0.2490205
四川 0.05602 -1.08548 -0.0581755
貴州 -0.11095 -1.47558 -0.1667687
雲南 -0.61547 -0.42528 -0.8159804
西藏 0.01200 -2.46313 -0.0009129
陝西 -0.42416 0.17032 -0.2713572
甘肅 -0.45628 -0.46636 0.0892125
青海 -0.66054 -0.42814 -0.0065357
寧夏 -0.78567 0.27927 -0.1067207
新疆 -0.83587 -0.65089 1.1125557
> Fac1$Rank#排名
F Ri
北京 1.49132 2
天津 0.64435 5
河北 -0.33214 18
山西 -0.34907 20
內蒙古 0.05826 10
遼寧 -0.05908 11
吉林 -0.21606 13
黑龍江 -0.52041 29
上海 1.98992 1
江蘇 0.32440 7
浙江 1.03133 4
安徽 -0.26389 17
福建 0.40095 6
江西 -0.36273 21
山東 0.07473 8
河南 -0.37337 23
湖北 -0.23816 15
湖南 -0.11187 12
廣東 1.18174 3
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海南 -0.37786 24
重慶 0.06183 9
四川 -0.23334 14
貴州 -0.43972 27
雲南 -0.61393 31
西藏 -0.56553 30
陝西 -0.25362 16
甘肅 -0.34266 19
青海 -0.46754 28
寧夏 -0.39403 26
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> par(mar=c(4,4,2,1)+0.1,cex=0.75) #
plot(Fac1$scores,ylim=c(-3,3)); abline(h = 0, v = 0, lty = 3)
text(Fac1$scores,label=rownames(X),pos=1,adj=0.5,cex=0.8)
> plot.text(Fac1$scores) #因子得分圖
biplot(Fac1$scores,Fac1$loading) #資訊重疊圖 