證明:紅黑樹的複雜度為O(logn)，其中n為節點個數。
    
    只需證定理：一棵有n個節點的紅黑樹高度h至多為2log(n+1)

            h =< 2log(n+1)

    只需證：高度為h的紅黑樹，包含的節點的數至少為2^(h/2)-1
    
            n => 2^(h/2)-1
    
    根據紅黑樹的性質，如果X為根節點，那麼bh(X) = > h/2，上式可轉化為：

            n => 2^(bh(X))-1 => 2^(h/2)-1

    同時有：樹總節點的個數大於黑節點的個數

            n => n(b)

    那麼我們只需證：
        
            n(b) => 2^(bh(X))-1

    即證明：黑高度為bh(X)的紅黑樹，包含至少為2^(bh(X))-1的黑節點，X為根節點

某一節點x為根的紅黑樹,黑高度bh(X),至少包含2^[bh(X)] - 1個黑節點；
歸納假設證明：
    歸納奠基：當高度bh(X)=0時,黑節點數n(b) = 0 = 2^(bh(X))-1 = 2^(0)-1，原命題成立；
    歸納假設：當高度bh(X)=k時，假設該樹至少有為2^(bh(X))-1 = 2^(k)-1個黑節點；
    歸納遞推：當高度bh(X)=k+1時，根節點的兩棵子樹的高度肯定為k(紅黑樹性質4)，則兩棵子樹上的黑節點個數為2*（2^(bh(X))-1） = 2^(k+1)-2(歸納假設),那麼該樹共有黑節點2^(k+1)-2+1（根節點） = 2^(k+1)-1個黑節點，原命題成立。