離散對數的求解

1.暴力

2.Baby-step giant-step

3.Pollard’s ρ algorithm

……

下面搬運一下Baby-step giant-step 的做法

這是在 https://ctf-wiki.github.io/ctf-wiki/crypto/asymmetric/discrete-log/discrete-log/ 上看到的，比較容易理解。

而且，裏面的代碼寫得簡潔明了。

寫一下自己理解和自己照著寫了一遍

原文代碼：

def bsgs(g, y, p):
    m = int(ceil(sqrt(p - 1)))
    S = {pow(g, j, p): j for
 
 j in range(m)}   #在字典S中存放了g^j和對應的j
    gs = pow(g, p - 1 - m, p)                 #求解的是baby step中的值，也就是g^(-m),其實就是g^m mod p的逆元，也就可以使用egcd來求解
    for i in range(m):
        if y in S:
            return i * m + S[y]               #S[y]取出的是此時y對應的i
        y = y * gs % p                        #如果baby step的值和 giant step的值不相等，繼續執行baby step
 

    return None

照著寫一遍的代碼

#求解離散對數問題

import math
def egcd(a,b):
    r0,r1,s0,s1=1,0,0,1
    n=b
    while(b):
        q,a,b=a//b,b,a%b
        r0,r1=r1,r0-q*r1
        s0,s1=s1,s0-q*s1
    return r0%n             #拓展歐幾裏得返回的三個值是，a是a和b的最大公因數，r0和s0分別是ax+by=c中的一組解x和y，【此時只是選擇返回一個r0，因為得到的是ax+by=gcd(a,b)中的x即可，有的時候x或者y可能為負數，在求解正數的逆元的時候負數要對n再次求模運算
 

    
#求解離散對數就是，X=G^a mod P,其中給出X,G,P的值，要求解的是 a的值，此處采用的是Baby step giant step的方法

def bsgs(x,g,p):                  #求解x=g^a mod p中的a，其中g是生成元
    m=math.ceil(math.sqrt(p-1))   #m的值是 p-1開平方後向上取整
    bstep={pow(g,j,p):j for j in range(m)}              #每一次 j 的增加表示 “baby-step”，一次乘上g，字典S中存了所有的g^j(j<m)以及其對應的j
    gstep=egcd(pow(g,m),p)           #算出了gstep的值，也就是g^-m的值
    for i in range(m):
        if x in bstep:
            return i*m+bstep[x]
        x=x*gstep%p
        
print(bsgs(37,3,101))

繼續學習其他的做法

參考資料：http://zoo.cs.yale.edu/classes/cs257/ppt/all/Mac/19_DiscreteLog.ppt

Discrete Log Algorithms ：Baby-step giant-step