2.1 遞推關係

對於數列a1,a2,…,an,…,除了前面的若干數外,其餘各項an與它前面的若干個數關聯起來的方程叫做遞推關係。
在求解遞推關係時，前面必須知道若干個數，這若干個已知的數稱為初始條件，或邊界條件。

2.2 母函式

對於序列a0,a1,a2,… 建構函式：G(x)= a0+a1x+a2x2+… ,稱函式G(x)是序列a0,a1,a2,…的母函式。

【例】有紅球兩個，白球、黃球各一個，試求有多少種不同的組合方案，假設兩個紅球沒有區別。
第一種解法：組合方法

• 一個都不選：1種方案
• 選1個球：3種方案
• 選2個球：4種方案
• 選3個球：3種方案
• 選4個球：1種方案
• 共1+3+4+3+1=12種組合方案

第二種解法：母函式法

• 設r，w，y分別代表紅球，白球，黃球
• 單獨紅球的組合方式為1，1，1，建構函式：1+r+r2
• 單獨白球與單獨黃球的組合方式分別為： 1,1和 1,1，分別建構函式1+w和1+y
• (1+r+r2) (1+w)(1+y)，把r,w,y都用x來表示，可得
• (1+x+x2)(1+x)(1+x)=$1+3x+4x^2+3x^3+x^4$
• 係數相加，共1+3+4+3+1=12種方案

幾個基本的母函式

2.3 母函式求解遞推關係

【例】已知邊界條件$h_0=0,h_1=1$，用母函式求解遞推關係$h_n=2h_{n-1}+1$

• 假設$h_1,h_2,...,h_n$的母函式為$G(x)=h_0+h_1x+h_2x^2+...$
• 利用遞推關係得，$G(x)=\frac{x}{(1-x)(1-2x)}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1-2x}={A}(1+x+x^2+...)+{B}(1+2x+2^2x^2+...)$
• 第n項是$A+B2^n$，代入邊界條件$h_0=0,h_1=1$，解得A=-1，B=1
• 答案：$h_n=-1+2^n$

2.5 母函式的性質

2.6 線性常係數齊次遞推關係

二階線性常係數齊次遞推關係總結

$a_n+ba_{n-1}+ca_{n-2}=0,c\ne0$
針對特徵方程$x^2+bx+c=0$的根的情況有：

• 兩個不同的實根：$a_n=A(r_1)^n+B(r_2)^n$
• 一對共軛的復根：$a_n=k_1\rho^n cos(n\theta)+k_2\rho^n sin(n\theta)$
• 兩個相同的實根：$a_n=(h+kn)r^n$

【例】

K階線性常係數齊次遞推關係總結

$a_n+c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+...+c_ka_{n-k}=0$
針對特徵方程 xk+c