【例】求小於10000的含0的正整數的個數

• 不含0的1位數有9個，2位數有$9^2$個，3位數有$9^3$個，4位數有$9^4$個 ，共7380個
• 小於10000的含0的正整數的個數為：9999-7380=2619

1.2 一一對應

【例】n個人參加單淘汰賽，最後產生冠軍的過程，需要多少場比賽？

• 比賽的臺數和每一場淘汰一名選手一一對應

• 答案：n-1
  【例】求$n^2$個人站成n排的方案數

• 站成n排和站成1排一一對應

• 答案：$n^2!$

【定理】帶n個有標號1,2,…,n的頂點的樹的數目等於$n^{n-2}$（n>=2）

1.3 排列與組合

排列的定義

設A={a1,a2,…,an}是n個不同的元素的集合，任取A中r個元素按順序排成一列，稱為從A中取r個的一個排列，其數目記為P(n,r) ，r滿足0≤r≤n。
排列可以看作n個不同的元素取r個放進r個不同的盒子的放法.

• 從n個不同的球中取一個球放在第一個盒子中，
• 從餘下的n-1個球中取一個球放在第二個盒子中，
• …………………………………
• 從餘下的n-(r-1)個球中取一個放在第r個盒子中

根據乘法法則：
P(n,r)=n(n-1)…(n-r+1)=n!／(n-r)!
全排列：P(n,n)=n(n-1)…2×1=n!

組合的定義

當從n個不同元素中取出r個而不考慮它的順序時,稱為從n中取r個的組合,其數目記為C(n,r)。
因為組合不考慮順序，所以組合數會比排列數少很多。
C(n,r)=P(n,r)/r! =n!/[r!(n-r)!]
C(n,r)=C(n,n-r)

圓周排列的定義

在排列中，如果我們不橫排而是將各元素排列在一個圓周上，那麼我們稱這種排列方式為圓周排列。規定相對位置不變算同一個圓周排列。將從n中取r個作圓排列的排列數記作Q(n,r)。
在排列中1234,2341,3412,4123為四個不同的排列，而在圓周排列中這些排列是一個。
從n中取r個作排列，與圓排列相比，重複了r倍
Q(n,r)=P(n,r)/r
Q(n,r)=P(n,r)/r=n!/r(n-r)!
Q(n,n)=P(n,n)/n=n!/n=(n-1)!

【例】5對夫婦出席一宴會，圍一圓桌而坐，試問有幾種不同的方案？若要求每對夫妻相鄰又有多少種方案?

• （1）Q(10，10)
• （2）Q(5，5）*$2^5$

1.4 多重集的排列

設S是一個多重集，有K個不同型別的元素，各元素的重複分別為n1,n2,…,nk,n=n1+n2+…+nk,則多重集S的全排列數為:$\frac{n!}{n1!n2!...nk!}$

證明：由$C_n^{n1}C_{n-n1}^{n2}C_{n-n1-n2}^{n3}...C_{n-n1-n2-...-n_{k-1}}^{nk}$化簡而得。

【例】求$10^{40}$和$20^{30}$的公因數的數目。

• $10^{40}=2^{40}5^{40}$
• $20^{30}=2^{60}5^{30}$
• 公因式形如$2^i5^j（0\le i\le40,0\le j\le30）$
• 公因式數目41X31

【例】有n個不同的整數，從中取出兩組來，要求第1組的最小數大於另一組的最大數，求滿足條件的所有取法的數量。

• 只要從n個數中取出一組m個數(設m=a+b，$2\le m\le n$),此時方案數為C(n,m)
• 將m個數從大到小取a個($a\ge 1$)作為第一組,剩餘的(剩下b個，$b\ge 1$)為第二組。從m個數中取第一組數共有m-1中取法。
• 答案：$\sum_{m=2}^n(m-1) C(n,m)$

1.5 排列的生成演算法

對於給定的字符集，用有效的方法將所有可能的排列無重複無遺漏地枚舉出來。

序數法

【思想】n個元素的n!個全排列與n!個數一一對應。
【定理】令$n\ge 0，0\le m \le n!-1$，則m可以唯一地表示為：
$m=a_{n-1}(n-1)!+a_{n-2}(n-2)!+…+a_1(1)!$
其中： 0≤ai≤i,i=1,