方陣的行列式是一個數字，這個數字包含了矩陣的大量資訊。首先，它立即告訴了我們這個矩陣是否可逆。矩陣的行列式為零的話，矩陣就沒有逆矩陣。當 \(A\) 可逆的時候，其逆矩陣 \(A^{-1}\) 的行列式為 \(1 / det(A)\)。

行列式可以用來求逆矩陣、計算主元和求解方程組，但是我們很少這樣做，因為消元會更快。

對於上述矩陣，如果行列式 \(ad-bc\) 為零的話，我們不能除以零，也就是沒有逆矩陣。其主元為 \(a\) 和 \(d - (c/a)b\)，主元的乘積就是行列式的值。

行列式有三個基本的性質，由這三個性質我們可以計算任意方針的行列式， \(A\) 的行列式記作 \(det(A)\)

• 性質 1： \(det \space I = 1\)，單位矩陣的行列式為 1 ，與之對應的是單位立方體的體積是 1。

• 性質 2： 當兩行進行交換的時候行列式改變符號。

由這個性質，我們可以很容易得到所有置換矩陣的行列式，置換矩陣都是由單位矩陣演化而來，當有奇數次行交換時，\(det \space P = -1\)；當有偶數次行交換時，\(det \space P = 1\)。

• 性質 3： 行列式是單獨每一行的線性函式（其它行不變）。

若某一行乘以 \(t\)，行列式就也乘以 \(t\)。如果某一行加上另一行，行列式就也相加。

這不意味著 \(2I = 2 det\space I\)， \(2I\) 是對其中的每一行都乘以 2，因此要乘以 \(2^n\)。

這就像面積或者體積一樣，長方形的長和寬都變為原來的 2 倍的話，面積就會變為 4 倍。

• 性質 4： 當矩陣中有兩行一樣的話，\(det(A)=0\)。

利用性質 2，我們對這兩行進行行交換，矩陣仍然保持不變，但其行列式需要變號，那麼行列式只能為零。

• 性質 5： 用矩陣的一行減去另一行的倍數，行列式不變。

\[\begin{vmatrix}a&b\\ c-\lambda a&d-\lambda b\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a&b\\ c &d \end{vmatrix} -\lambda \begin{vmatrix}a&b\\ a& b\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}a&b\\ c &d \end{vmatrix} \]

在消元的過程中，行列式不會改變，如果有行交換的話，符號不同，因此有 \(det \space A = \pm det \space U\)。

• 性質 6： 當矩陣的某一行全為零的時候，行列式為零。

利用性質 5，將全零行加上另外一行。

\[\begin{vmatrix}a&b\\ 0&0\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a&b\\ a& b\end{vmatrix} =0\]

• 性質 7： 如果矩陣是三角形的，那麼行列式等於對角線上元素的乘積。

利用性質 5，我們可以將對角線上面或者下面的元素通過消元法全部變成 0，這不會改變行列式的值。然後，矩陣就只有對角線上有非零值，我們再利用性質 3 將每行的係數提取出來，矩陣就變成了單位矩陣。

• 性質 8： 如果矩陣是可逆的那麼 \(det(A)\not=0\)，反之 \(det(A)=0\)。

消元過程會讓 \(A\) 變為 \(U\)，如果 \(A\) 是不可逆的，那麼 \(U\) 中一定有全零行，其行列式為零。如果 \(A\) 是可逆的，那麼 \(U\) 中的對角線為主元，其行列式為對角線的乘積，也即主元的乘積。

如果 \(PA=LU\)，那麼有 \(|P| \space |A| = |L| \space |U|\)，\(L\) 為對角線上為 1 的下三角矩陣，因此有 \(det \space L = 1\)，而 \(det \space P = \pm 1\)，所以 \(|A| = \pm|U|\)。

• 性質 9： \(|AB| = |A||B|\)。

\[det(AA^{-1}) = det \space I = 1 \to det \space A^{-1} = \frac{1}{det \space A}\]

一個簡單的證明過程如下所示：

• 性質 10： 轉置矩陣的行列式不變，\(det \space A^{T} = det \space A\)。

\[ |P| \space |A| = |L| \space |U| \leftrightarrow |P^T| \space |A^T| = |L^T| \space |U^T|\]

對比以上兩項，置換矩陣的逆等於轉置，所以有 \(|P||P^T|=1\)，因此它們同時為 1 或者 -1。對三角矩陣的轉置不影響其對角線元素，因此行列式不變，所以有 \(|L| =|L^T|，|U| =|U^T|\)，所以有 \(|A| =|A^T|\)。

因此，任意應用於矩陣的行的性質都可以同時應用到矩陣的列上去。

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