線性代數之——四個基本子空間
1. 四個基本子空間
- 行空間
,一個
的子空間,由所有行的線性組合構成,維數為
- 列空間 ,一個 的子空間,由所有列的線性組合構成,維數為
- 零空間 ,一個 的子空間,由所有 的解的線性組合構成,維數為
- 左零空間 ,一個 的子空間,由所有 或者 的解的線性組合構成,維數為
2. 的四個基本子空間
假設 的最簡行階梯形式為 ,我們可以很容易地從 找到四個子空間。
矩陣 中有兩個主元,因此其秩為 2。
行空間的維數等於秩,為 2,其中一個基可以取 的前兩行。
列空間的維數等於秩,為 2,主元所在的列為第一列和第四列,因此其中一個基為 中對應的兩列。
零空間的維數等於 ,為 3,有三個自由變數,因此對應著三個特解,它們就是零空間的一個基。
左零空間尋找的是 的行的線性組合來產生一個零向量。
顯而易見, 和 必須為 0,而 可以取任意值。左零空間的一個基為 (0, 0, 1),維數為 。
2. 的四個基本子空間
和 有著相同的行空間、維數 和基。
由矩陣乘法可知, 的每一行都是對 的行的線性組合,而且 的每一行也都是對 的行的線性組合。因此,消元只是改變了行,並沒有改變行空間。
當且僅當 ,它們的 個主列都是不相關的,它們的列空間維數都為 。
其中 的列可以看作是對 的列的線性組合,因此 和 有著相同的列空間。
和 有著相同的零空間、維數和基,因為消元並不改變方程組的解。
的左零空間維數為 。
因為 的最後 行為全零行,也就是 中最後 行對 的行的線性組合產生了零向量,因此它們是左零空間的一個基。
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