一、題目：最長公共子序列：

給定兩個字串，求解這兩個字串的最長公共子序列（Longest Common Sequence）。比如字串L：BDCABA；字串S：ABCBDAB

則這兩個字串的最長公共子序列長度為4，最長公共子序列是：BCBA

思路：動態規劃：時間O(n * m)，空間O(n * m)

建立 DP陣列C[i][j]：表示子字串L【：i】和子字串S【：j】的最長公共子序列個數。

狀態方程：

個數程式碼：

def LCS(L,S):
    if not L or not S:
        return ""
    dp = [[0] * (len(L)+1) for
 
 i in range(len(S)+1)]
    for i in range(len(S)+1):
        for j in range(len(L)+1):
            if i == 0 or j == 0:
                dp[i][j] = 0
            else:
                if L[j-1] == S[i-1]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
                else:
                    dp[i][j] 
 
= max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])
    return dp[-1][-1]
L = 'BDCABA'
S = 'ABCBDAB'
LCS(L,S)

最長子序列程式碼：設定一個標誌

def LCS(L,S):
    if not L or not S:
        return ""
    res = ''
    dp = [[0] * (len(L)+1) for i in range(len(S)+1)]
    flag = [['left'] * (len(L)+1) for i in range(len(S)+1)]
    for i in
 
 range(len(S)+1):
        for j in range(len(L)+1):
            if i == 0 or j == 0:
                dp[i][j] = 0
                flag [i][j] = '0'
            else:
                if L[j-1] == S[i-1]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
                    flag[i][j] = 'ok'
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])
                    flag[i][j] = 'up' if dp[i][j] == dp[i-1][j] else 'left'
    return dp[-1][-1],flag
def printres(flag,L,S):
    m = len(flag)
    n = len(flag[0])
    res = ''
    i , j = m-1 , n-1
    while i > 0 and j > 0:
        if flag[i][j] == 'ok':
            res += L[j-1]
            i -= 1
            j -= 1
        elif flag[i][j] == 'left':
            j -= 1
        elif flag[i][j] == 'up':
            i -= 1
    return res[::-1]            
L = 'BDCABA'
S = 'ABCBDAB'
num,flag = LCS(L,S)
res = printres(flag,L,S)

二、題目：最長遞增子序列

給定一個長度為N的陣列，找出一個最長的單調自增子序列（不一定連續，但是順序不能亂）。例如：給定一個長度為6的陣列A{5， 6， 7， 1， 2， 8}，則其最長的單調遞增子序列為{5，6，7，8}，長度為4.

解法一：最長公共子序列：O（N^2）

這個問題可以轉換為最長公共子序列問題。如例子中的陣列A{5，6， 7， 1， 2， 8}，則我們排序該陣列得到陣列A‘{1， 2， 5， 6， 7， 8}，然後找出陣列A和A’的最長公共子序列即可。顯然這裡最長公共子序列為{5, 6, 7, 8}，也就是原陣列A最長遞增子序列。

解法二：動態規劃法（時間複雜度O(N^2))

 設 dp(j) 表示L中以 L[j] 為末元素的最長遞增子序列的長度。狀態方程：

dp(j) = { max(dp(i)) + 1, i<j且L[i]<L[j] }

這個遞推方程的意思是，在求以L【j】為末元素的最長遞增子序列時，找到所有序號在 j 前面且小於L【j】的元素L【i】，即 i < j 且 L【j】< L【i】。

例如給定的陣列為{5，6，7，1，2，8}，則 dp(0)=1, dp(1)=2, dp(2)=3, dp(3)=1, dp(4)=2, dp(5)=4。所以該陣列最長遞增子序列長度為4，序列為{5，6，7，8}。

程式碼：

def LCS1(L):
    if not L:
        return ""
    dp = [1] * len(L)
    for j in range(len(L)):
        for i in range(j):
#當j = 5,i = 0時,dp = [1,2,3,1,2,1]
#當j = 5,i = 0時，dp[5] = 1 < dp[0]+1，故dp(5)更新為dp[0]+1=2，
#當j = 5,i = 1時，dp[5] = 2 < dp[1]+1 =3,故dp(5)更新為dp[1]+1=3
#當j = 5,i = 2時，dp[5] = 4
#當j = 5,i = 3時，dp[5] = 4 > dp[3]+1 = 3,故dp[5]不更新，同理，i = 4時，dp[5]仍等於4
            if L[j] > L[i] and dp[j] < dp[i] + 1:

                dp[j] = dp[i]+1
    return max(dp)
L = [5,6,7,1,2,8]
LCS1(L)

得到dp陣列之後找出，最長遞增子序列，

• 先找到dp最大值5，索引為7，然後arr【7】= 9
• dp【6】 = 5-1 =4，故arr【6】=8
• dp【4】 = 4-1或者dp【5】 = 4-1，故arr【4】 = 6 / arr【5】=4
• dp 【2】=3-1或者dp【3】 = 3-1，故arr【2】 = 5 / arr【3】=3
• 2 / 1

故最長遞增子序列：2→5→6→8→9或者1→3→4→8→9

解法三：優化的動態規劃，時間O（NlogN）