問題

一個平面內的 $n$個點，以這 $n$個點為頂點，最多能構成多少個矩形？點的排列是自己決定的。

先說結論：構成矩形的個數，上界是 $O$

上界

記 $C_a$

對於每一個點 $p_i$，如果 $p_a,p_b,p_c,p_d$能構成一個矩形，當且僅當 $C_{p_a,p_c}=C_{p_b,p_d}$。

記 $d_i$為 $C_i$上相反的點對個數，就是說 $d_i=|\{(p_j,p_k)\mid C_i=C_{p_j,p_k}\}|$。

可以得出，矩形個數就是 $\sum_{i=1}^m \frac{d_i\times (d_i-1)}{2}$， $\sum_{i=1}^m d_i=\frac{n\times (n-1)}{2}$。

我們假設 $d_1\geq d_2\geq \cdots\geq d_n$。記 $k$滿足 $d_k>2 \sqrt{n},d_{k+1}\leq 2\sqrt{n}$，由於兩圓只可能交於兩點，因此可以得到 $k\leq \sqrt{n}$。

證明：如果 $k>\sqrt{n}$，那麼可以發現點的個數 $\geq \sum_{i=1}^k (2d_i-2(i-1))>4k\sqrt{n}-k(k-1)>4n-n+\sqrt{n}>n$，因此 $k$必定 $\leq \sqrt{n}$。

那麼矩形個數就是
$\sum_{i=1}^m \frac{d_i\times (d_i-1)}{2}\leq \sum_{i=1}^m d_i^2 = \sum_{i=1}^k d_i^2+\sum_{i=k+1}^m d_i^2 \leq \sum_{i=1}^{\sqrt{n}} d_i^2+\sum_{i=1}^n (2\sqrt{n})^2\leq \sum_{i=1}^{\sqrt{n}} (\frac{n}{2})^2 + 4n^2 = O(n^2\sqrt{n})$