則稱$S_1，S_2，……，S_k$是集合S的一個劃分。

排列與組合

【例】馬路上有編號1,2,3…10的十盞路燈，為節約用電而又不影響照明，可以把其中3盞燈關掉，但不可以同時關掉相鄰的兩盞，在兩端的燈都不能關掉的情況下，有()種不同的關燈方法。

• 採用插隔板法，即8燈關3,餘5燈亮,5燈之間6個空,插入3盞不亮燈
• 答案：C（6,3）

【例】村長帶著 4 對父子參加爸爸去哪兒第三季第二站某村莊的拍攝。村裡為了保護小孩不被拐走有個前年的規矩，那就是吃飯的時候小孩左右只能是其他小孩或者自己的父母。那麼 4 對父子在圓桌上共有_種坐法。 （旋轉一下，每個人面對的方向變更後算是一種新的坐法）

• 思路：先選座位，在進行排列；
• 四個孩子一起坐：選4個連起來的座位，共有8種，孩子的排列是A（4,4），只有兩個父親（且是確定的）可以隨便坐A（2,2），故8*A(4,4)*A(2,2)
• 兩個孩子一起坐：選四個座位，且是相對的，共有4種，孩子的全排列A(4,4)，父親的座位確定，故4*A(4,4)
• 一共有8*A(4,4)*A(2,2)+4*A(4,4)=480

【例】從數字集合{1,2,3,4,… ,20}中選出3個數字的子集，如果不允許兩個相連的數字出現在同一集合中，那麼能夠形成多少個這種子集？

• “不鄰問題”插空法，即在解決對於某幾個元素要求不相鄰的問題時，先將其它元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置，從而將問題解決的策略。
• C(18，1)=816

錯排公式

【例】五個球從盒子裡拿出來，打亂順序放回去，均不在原位的排列數是多少（）

• D(n) = (n-1) * ( D(n-1) + D(n-2) )，n>=3，D(1) = 0 , D(2) = 1
• A的位置有4種選擇（除了A之外的4個字母）
• （1）B的位置被A佔了：CDE三個位置因為要避免重複，所以只能有2種排列方式
• （2）B的位置沒有被A佔：則B的位置有3種選擇，C的位置有3種選擇（因為A在這3個裡面，A無論在CDE的哪個位置上，都沒有問題，只要A的位置定了，另外兩個的位置肯定也定了，因為它們只能交換位置），所以是 3*3種
• 最後總共是 4*( 2 + 3*3)

卡特蘭數

【定理】n個“1”和n個“0”組成的2n位的二進位制數，要求從左到右掃描，“1”的累計數不小於“0”的累計數，這樣的二進位制數的個數為著名的Calatan數 $\frac{C(2n,n)}{n+1 }$，（n>=0）
【證明】令An為n個“1”和n個“0”組成的符合二進位制數的個數，n個“1”和n個“0”組成的二進位制數可以看作是一種型別（1型）為n個元素和另一種型別（0型）的n個元素的兩種不同元素的排列，這樣的排列個數位C(2n,n) = (2n)!/(n!n!)，從C(2n,n)中減去不符合要求的個數即為所求的An，
考慮n個”1”和n個”0”組成的不符合要求的二進位制數，不符合要求的數應為：從左到右掃描時，必然存在一個最小的k使得在這k位上首先出現”0”的累計數多於”1”的累計數，特別得，k是一個奇數，而在k之前的k-1位數中，有相等個數的”0”和”1”，而且這第k位上是”0”，現在把這前k位中每一位上的數進行交換，”1”換成”0”，”0”換成”1”，並且保持剩下的數不變，結果這樣的二進位制數是一個有n+1個”1”和n-1個”0”的二進位制數，即一個不合要求的二進位制數對應一個由n+1個”1”和n-1個”0”組成的一個排列，這個過程是可逆的：任何一個由n+1個”1”和n-1個”0”組成的2n位數，由於”1”的個數比”0”的個數多2個，2n是偶數，因此必在某個奇位數上出現”1”的累計數超過”0”的累計數，同樣對他們進行交換，並使其餘的不動，使之成為由n個”1”和n個”0”組成的2n位數，這時”0”的累計個數多於”1”的累計個數，是一個不符合要求的二進位制數，從而不符合要求的二進位制數與n+1個”1”和n-1”0”組成的排列一一對應，這樣的排列個數為C(2n,n+1) = (2n)!/((n+1)!(n-1)!) 因此有An = C(2n,n)-C(2n,n+1)

楊氏矩陣

楊氏矩陣又叫楊氏圖表，它是這樣一個矩陣，滿足條件：
(1)如果格子(i,j)沒有元素，則它右邊和上邊的相鄰格子也一定沒有元素。
(2)如果格子(i,j)有元素$a_{ij}$，則它右邊和上邊的相鄰格子要麼沒有元素，要麼有元素且比$a_{ij}$大。

1 ~ n所組成楊氏矩陣的個數可以通過下面的遞推式得到：
F(1)=1;F(2)=2;
F(n)=F(n-1)+(n-1)F(n-2) ，n>2

鉤子公式

對於給定形狀，不同的楊氏矩陣的個數為：n！除以每個格子的鉤子長度加1的積。其中鉤子長度定義為該格子右邊的格子數和它上邊的格子數之和。

【例】1-16十六個數字分別填入十六格方框內，要求從左至右的數字是從小到大排列，從上至下的數字也是從小到大排列，問：有多少種排列方式。

• 利用楊氏矩陣的鉤子公式
• 答案：16! / (4 x 3 x 2 x 1 x 5 x 4 x 3 x 2 x 6 x 5 x 4 x 3 x 7 x 6 x 5 x 4) = 24024