932. Beautiful Array

For some fixed N, an array A is beautiful if it is a permutation of the integers 1, 2, ..., N, such that:

For every i < j, there is no k with i < k < j such that A[k] * 2 = A[i] + A[j].

Given N

Input: 4          Output: [2,1,4,3]

Input: 5          Output: [3,1,2,5,4]

解：

    第一反應是從 vecctor<int> res = { 1 }; 開始，一個數一個數往裡插，不過看到判斷條件是 A[k] * 2 == A[i] + A[j] 就想到，這不是向下取整，所以如果 A[i] + A[j] 一個是奇數一個是偶數（也就是兩個的和是奇數），那一定不會有 k 使得 A[k] * 2（偶數） 等於兩個數的和，那如果有一個全是奇數的 Beautiful Array（比如叫 Odd ），和一個全是偶數的 Beautiful Array（比如叫 Even ），那這兩個拼接起來一定也是 Beautiful Array（因為隨機選 i 和 j 的位置，如果都在 Odd 裡，或者都在 Even 裡，那因為他們兩個都是 Beautiful Array 肯定滿足條件，如果一邊一個，那因為上邊的分析，條件也是滿足的）。

    如果 N 是奇數（比如 7 ），那就是 Odd 裡邊有 4 個數（1 3 5 7），Even 裡邊有三個數（2 4 6）；如果 N 是偶數（比如 6 ），那就是 Odd 裡邊有 3 個數（1 3 5），Even 裡邊有 3 個數（2 4 6）。最短的 Beautiful Array（N = 1時） 是 { 1 } 這個顯而易見。現在要做的就是從基礎的 Beautiful Array 一點一點擴充套件成 N 長度的 Beautiful Array。

    Beautiful Array 有兩個很重要的性質可以分析出來：

• 如果 A 是 Beautiful Array，那麼 A * 2 - 1 也是 Beautiful Array（這就變成了全是奇數的 Beautiful Array ）
• 如果 A 是 Beautiful Array，那麼 A * 2       也是 Beautiful Array（這就變成了全是偶數的 Beautiful Array ）

這樣，（A * 2 + 1）和（A * 2）拼接起來，就是 N * 2 長度的 Beautiful Array。每次可以擴充一倍，10次就是 1024 倍，因為題目說了 N <= 1000，那麼從 { 1 } 這個 Beautiful Array 到 N = 1000 的 Beautiful Array 就需要 10 次擴充。中間的結果把大於 N 的數刪掉就行了。

vector<int> beautifulArray(int N) {
    vector<int> res = { 1 };
    while(res.size() < N)
    {
        vector<int> tmp;
        for(auto r : res)
            if(r * 2 - 1 <= N)
                tmp.push_back(r * 2 - 1);
        for(auto r : res)
            if(r * 2 <= N)
                tmp.push_back(r * 2);
        res = tmp;
    }
    return res;
}

    把每次的結果輸出出來，或者手算一下更容易理解：

• N = 1，res = { 1 }
• N = 2，res = { 1, 2 }
• N = 3，res = { 1, 3, 2 }
• N = 4，res = { 1, 3, 2, 4 }
• N = 5，res = { 1, 5, 3, 2, 4 }
• N = 6，res = { 1, 5, 3, 2, 6, 4 }
• N = 7，res = { 1, 5, 3, 7, 2, 6, 4 }
• ......

    其實從 { 1, 2 } 開始每次往裡插數字應該也是可以的，奇數就在前半部分插，偶數就在後半部分插，不過每次插需要判斷插的位置對不對。