@貨幣系統@

• @題目描述@
• @題解@
• @程式碼@
• @[email protected]

@題目描述@

在網友的國度中共有 n 種不同面額的貨幣，第 i 種貨幣的面額為 a[i]，你可以假設每一種貨幣都有無窮多張。為了方便，我們把貨幣種數為 n、面額陣列為 a[1…n] 的貨幣系統記作 (n,a)。

在一個完善的貨幣系統中，每一個非負整數的金額 x 都應該可以被表示出，即對每一個非負整數 x，都存在 n 個非負整數 t[i] 滿足 a[i]×t[i] 的和為 x。然而， 在網友的國度中，貨幣系統可能是不完善的，即可能存在金額 x 不能被該貨幣系統表示出。例如在貨幣系統 n=3, a=[2,5,9] 中，金額 1,3 就無法被表示出來。

兩個貨幣系統 (n,a) 和 (m,b) 是等價的，當且僅當對於任意非負整數 x，它要麼均可以被兩個貨幣系統表出，要麼不能被其中任何一個表出。

現在網友們打算簡化一下貨幣系統。他們希望找到一個貨幣系統 (m,b)，滿足 (m,b) 與原來的貨幣系統 (n,a) 等價，且 m 儘可能的小。他們希望你來協助完成這個艱鉅的任務：找到最小的 m。

輸入
輸入檔案的第一行包含一個整數 T，表示資料的組數。
接下來按照如下格式分別給出 T 組資料。 每組資料的第一行包含一個正整數 n。接下來一行包含 n 個由空格隔開的正整數 a[i]。

輸出
輸出檔案共有 T 行，對於每組資料，輸出一行一個正整數，表示所有與 (n,a) 等價的貨幣系統 (m,b) 中，最小的 m。

輸入樣例#1
2
4
3 19 10 6
5
11 29 13 19 17
輸出樣例#1
2
5

輸入輸出樣例 1說明
在第一組資料中，貨幣系統 (2, [3,10]) 和給出的貨幣系統 (n,a) 等價，並可以驗證不存在 m < 2 的等價的貨幣系統，因此答案為 2。 在第二組資料中，可以驗證不存在 m < n 的等價的貨幣系統，因此答案為 5。

@題解@

一個結論性的題目……吧。

首先手推一下，發現新貨幣系統中的最小值 $m^{\mathrm{\prime }}$

然後我們遞迴性地猜想：假如我去掉了這個最小值以及最小值能表達的數（因為新貨幣系統裡面如果再有這些數就不夠優秀了），那麼再選擇最小值是否也一定是最優的？
仿照上面的證明可以發現這個推論是正確的。

因此我們就可以得到我們的演算法：
（1）找到原貨幣系統當前的最小值，加入新貨幣系統。
（2）在原貨幣系統中刪除新貨幣系統能表達的數。
迴圈（1），（2）直到原貨幣系統沒有任何數。

我們實現上可以不按這麼寫。我們可以從小到大列舉原貨幣系統中的數，判斷它能否被新貨幣系統表達。能則跳過；不能則更新新貨幣系統。
判斷以及更新可以用完全揹包來做。

@程式碼@

應該說，這道題算是一道簡單題。只是需要你去推導一些東西 qwq。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 100;
const int MAXM = 25000;
bool dp[MAXM + 5];
int a[MAXN + 5];
void solve() {
    int n, m = 0, lim = 0;
    scanf("%d", &n);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        lim = max(lim, a[i]);
    }
    for(int i=0;i<=lim;i++)
        dp[i] = false;
    sort(a+1, a+n+1); dp[0] = true;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        if( !dp[a[i]] ) {
            for(int j=a[i];j<=lim;j++)
                dp[j] |= dp[j-a[i]];
            m++;
        }
    }
    printf("%d\n", m);
}
int main() {
    int T;
    scanf("%d", &T);
    for(int i=1;i<=T;i++)
        solve();
    return 0;
}

@[email protected]

就是這樣，新的一天裡，也請多多關照哦(ノω<。)ノ))☆.。