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【NOIP2018普及組】擺渡車

阿新 • • 發佈：2018-11-20

@擺渡車@

@題目描述@

有 n 名同學要乘坐擺渡車從人大附中前往人民大學，第 i 位同學在第 ti 分鐘去等車。只有一輛擺渡車在工作，但擺渡車容量可以視為無限大。擺渡車從人大附中出發、把車上的同學送到人民大學、再回到人大附中（去接其他同學），這樣往返一趟總共花費 m 分鐘（同學上下車時間忽略不計）。擺渡車要將所有同學都送到人民大學。
凱凱很好奇，如果他能任意安排擺渡車出發的時間，那麼這些同學的等車時間之和最小為多少呢？
注意：擺渡車回到人大附中後可以即刻出發。

輸入
第一行包含兩個正整數 n，m，以一個空格分開，分別代表等車人數和擺渡車往返一趟的時間。
第二行包含 n 個正整數，相鄰兩數之間以一個空格分隔，第 i 個非負整數 ti代表第 i 個同學到達車站的時刻。
輸出
輸出一行，一個整數，表示所有同學等車時間之和的最小值（單位：分鐘）。

輸入樣例 1
5 1
3 4 4 3 5
輸入樣例 2
5 5
11 13 1 5 5

輸出樣例 1
0
輸出樣例 2
4

輸入輸出樣例 1 說明
同學 1 和同學 4 在第 3 分鐘開始等車，等待 0 分鐘，在第 3 分鐘乘坐擺渡車出發。擺渡車在第 4 分鐘回到人大附中。
同學 2 和同學 3 在第 4 分鐘開始等車，等待 0 分鐘，在第 4 分鐘乘坐擺渡車出發。擺渡車在第 5 分鐘回到人大附中。
同學 5 在第 5 分鐘開始等車，等待 0 分。

輸入輸出樣例 2 說明
同學 3 在第 1 分鐘開始等車，等待 0 分鐘，在第 1 分鐘乘坐擺渡車出發。擺渡車在第 6 分鐘回到人大附中。
同學 4 和同學 5 在第 5 分鐘開始等車，等待 1 分鐘，在第 6 分鐘乘坐擺渡車出發。擺渡車在第 11 分鐘回到人大附中。
同學 1 在第 11 分鐘開始等車，等待 2 分鐘；同學 2 在第 13 分鐘開始等車，等待 0 分鐘。他/她們在第 13 分鐘乘坐擺渡車出發。自此所有同學都被送到人民大學。總等待時間為 4。可以證明，沒有總等待時間小於 4 的方案。

資料規模與約定
對於 10% 的資料，n ≤ 10,m = 1,0 ≤ ti ≤ 100。
對於 30% 的資料，n ≤ 20,m≤ 2,0 ≤ ti ≤ 100。
對於 50% 的資料，n ≤ 500,m ≤ 100,0 ≤ ti ≤ 10^4。
另有 20% 的資料，n ≤ 500,m ≤ 10,0 ≤ ti ≤ 4×10^6。
對於 100% 的資料，n ≤ 500,m ≤ 100,0 ≤ ti ≤ 4×10^6。

@絕對不可能是正解的題解@

搜到了不少的題解，一個比一個強 orz。
這個演算法應該是一個比較容易“想到”的演算法（因為題目中很多的性質都沒有用到）
但是有用到斜率優化……
定義 a [ i ] a[i] 表示第 i 個時刻到達進行等車的人數。
定義 d p [ i ] dp[i] 表示在第 i 個時刻發車，前面的同學最小等待時間之和。
則有：
d p [ i ] = min ⁡ ( d p [ j ] + ( ∑ k = j + 1 k ≤ i a [ k ] ∗ ( i − k ) ) ) ( i − j > = m ) dp[i] = \min(dp[j] + (\sum_{k=j+1}^{k\le i}a[k]*(i-k)))(i-j>=m)
拆開得到：
d p [ i ] = min ⁡ ( d p [ j ] + i ∗ ( ∑ k = j + 1 k ≤ i a [ k ] ) − ( ∑ k = j + 1 k ≤ i a [ k ] ∗ k ) ) ( i − j > = m ) dp[i] = \min(dp[j] + i*(\sum_{k=j+1}^{k\le i}a[k])-(\sum_{k=j+1}^{k\le i}a[k]*k))(i-j>=m)
令 c n t [ i ] = ∑ j = 1 j ≤ i a [ j ] cnt[i]=\sum_{j=1}^{j\le i}a[j] ， s u m [ i ] = ∑ j = 1 j ≤ i a [ j ] ∗ j sum[i]=\sum_{j=1}^{j\le i}a[j]*j 。這兩貨可以字首和O(n)處理。

則轉移方程式變為：
d p [ i ] = min ⁡ ( d p [ j ] + i ∗ ( c n t [ i ] − c n t [ j ] ) − ( s u m [ i ] − s u m [ j ] ) ) = min ⁡ ( d p [ j ] + i ∗ c n t [ i ] − i ∗ c n t [ j ] − s u m [ i ] + s u m [ j ] ) = min ⁡ ( ( i ∗ c n t [ i ] − s u m [ i ] ) + ( d p [ j ] + s u m [ j ] ) − i ∗ c n t [ j ] ) ( i − j > = m ) dp[i] = \min(dp[j] + i*(cnt[i]-cnt[j])-(sum[i]-sum[j]))\\=\min(dp[j] + i*cnt[i]-i*cnt[j]-sum[i]+sum[j])\\=\min( (i*cnt[i]-sum[i]) + (dp[j]+sum[j]) - i*cnt[j]) (i-j>=m)
令 f ( i ) = ( i ∗ c n t [ i ] − s u m [ i ] ) , g ( j ) = ( d p [ j ] + s u m [ j ] ) , h ( j ) = c n t [ j ] f(i)=(i*cnt[i]-sum[i]), g(j)=(dp[j]+sum[j]), h(j)=cnt[j] 。
則 d p [ i ] = min ⁡ ( f ( i ) + g ( j ) − i ∗ h ( j ) ) ( j < = i − m ) dp[i]=\min(f(i) + g(j) - i*h(j)) (j<=i-m) 。

典型的不能再典型的斜率優化式…… i 和 h(j) 還具有單調性……

@程式碼 - [email protected]

雖然當初我去都沒去普及組。
不過普及組（涉嫌）考到斜率優化倒是令我極其感興趣，就寫了一下 qwq。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, ll> pil;
const int INF = (1<<30);
const int MAXN = 4000100;
int cnt[MAXN + 5];
ll sum[MAXN + 5], dp[MAXN + 5];
ll f(int i) {
    return cnt[i]*i - sum[i];
}
ll g(int j) {
    return dp[j]+sum[j];
}
ll h(int j) {
    return cnt[j];
}
double slope(int x, int y) {
	if( h(x) == h(y) ) {
		if( g(x) > g(y) ) return -INF;
		else if( g(x) < g(y) ) return INF;
	}
	else return 1.0*(g(y) - g(x))/(h(y) - h(x));
}
int que[MAXN + 5];
int main() {
    int n, m, x, lim = 0;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%d", &x);
        cnt[x]++; lim = max(lim, x);
    }
    lim += m;
    for(int i=1;i<=lim;i++) {
        sum[i] = sum[i-1] + 1LL*cnt[i]*i;
        cnt[i] 
            
  

           

              
              

            

            
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 輸入：
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 輸出：
  



  
 

    


    
    
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然後我們可以開始列舉答案.

但我們發現，所以我們可以省去以為的列舉，做到列舉，實測在洛谷上能拿到85分.

到這一步優化的程式碼如下：

#inc 



  
 

    


    
    
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 題目 
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         n
        
       
       
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1.和諧數

給定一個長度為N的序列a，對於每一個數都可選或不選，把選出的數有序組成一個新的序列b，使b序列的“和諧數”最大。一個序列的和諧數如下定義：對於位置i，如果第奇數次選的則加上bi，偶數次選的則減去bi 
注 



  
 

    


    
    
紀中訓練 day5 【NOIP普及組】模擬賽D組 解題報告

     
 
							
							
							目錄










大意

從左到右，問加了一個’p’後一共有幾個noi？（p可以為n，o，i中的一個）長度小於100001



思路

加p之前，noi的個數為每個o之前n的個數*之後i的個數並累加。 
加p之後，有三種情況：N，O，I 
N肯定是放在 



  
 

    


    
    
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最小 



  
 

    


    
    
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給你n根火柴棍，你可以拼出多少個形如“A+B=C”的等式？等式中的A、B、C是用火柴棍拼 



  
 

    


    
    
二叉樹的遍歷 &【NOIP2001普及組】& 洛谷 P1030 求先序排列

     
 題目   輸出   image   pre   ext   bubuko   二叉樹   找到   pan   題目鏈接
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模板題
先講一下二叉樹的遍歷
二叉樹的遍歷

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洛谷 題解 P5015 【標題統計】 NOIP2018 普及組 T1

     
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