作者：知乎使用者
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先來說極小極大演算法主要應用於什麼樣的遊戲：
1. 零和遊戲（Zero-sum Game）：意思就是你死我活，一方的勝利代表另一方的失敗，比如，象棋，五子棋等。
2. 完全資訊（Perfect Information）：玩家知道之前所有的步驟。象棋就是完全資訊，因為玩家是交替著落子，且之前的步驟都能在棋盤上體現，但是石頭剪子布就不是。
這樣的遊戲通常可以把他們看作一個樹狀圖，把每一種可能性列出來。比如下面這個井字棋遊戲，Max代表你自己，Min代表你的對手。

這個時候我們需要給每一種結果一個分數，就是這裡的Utility。這個分數是站在我自己（也就是Max）的角度評估的，比如上圖中我贏了就是＋1，輸了是－1，平局時0。所以，我希望最大化這個分數，而我的對手希望最小化這個分數。（在遊戲中，這個分數被稱為static value。）這裡要說一下，井字棋是個比較簡單的遊戲，所以可以列出所有可能的結果。但是，大部分遊戲是不太可能把所有結果都列出來的。根據計算機運算量，我們可能只能往前推7，8步，所以這個時候分數就不只－1，1，0這麼簡單了，會有專門的演算法來根據當前結果給不同的分數。
假設我們有如下圖的遊戲，我是先手，我應該如何利用Minmax演算法來選出第一步怎麼走呢？

這個時候我們就要從結果看起，也就是第4步。圖中標註第四步是我的對手下的，所以他要做的是最小化這個分數，於是對手根據結果可以反推出如下選擇

繼續從後往前看到第3步，當我們知道了對手的選擇以後，我們可以根據對手的結果反推出自己的選擇，我們要做的是最大化這個分數，如圖

重複這個步驟，我們最終可以發現第一步的最優選擇，如圖

以上就是極小極大演算法（Minimax）。

當然對於一個複雜的遊戲來說，比如象棋，肯定是需要非常多步才能完成的。這就導致結果的數量是成幾何增長的，也就是說，如果這個遊戲每一步都有n個選擇，那麼在x步以後，將會有n^x個選擇。這個時候，我們就需要採取剪枝演算法（Alpha-Beta）來減少運算量。從剪枝演算法這個名字我們就能看出，這個演算法能讓我們剪掉樹狀圖中的一些分支，從而減少運算量。在這裡也說一下剪枝演算法，因為這並不是個不同於極小極大的演算法，而是極小極大演算法的升級版。
我們將遊戲簡化成如下圖，使用Minimax演算法，我們可以得出這樣的結果

但是，最後一步的分數其實也需要計算機來算（static evaluation），所以我們並不會一開始就有所有的資料，其實我們一開始是這樣的

然後，計算機給出了第一個分數

當給出了這個分數的時候，我們站在步驟1看，無論另一分支的數字是多少，步驟1左邊方框的數字不會超過2。因為第2步是我的對手下的，他希望分數儘可能的小，也就是這樣的

這個時候，電腦再計算另一分支的分數，也就是7。知道另一分數是7以後，也就知道步驟1的左邊方框分數為2。這時，我們往前看一步（步驟0）。步驟0的分數是大於等於2，因為我要最大化分數。如圖

現在，再來計算右邊分支的分數，得到了1。同理，我們站在步驟1來看，右邊方框中的數不會超過1，如圖

在這個情況下，即使我不算最後一個數字，我也能知道在步驟0的結果為2，因為已知步驟1中的右邊方框，數值不會超過1。所以我們就能直接知道結果，也就是

我們可以看到，加上剪枝演算法，我們不僅得到了相同的結果，而且減少了計算量。在實際應用中，加上剪枝演算法，計算機大約需要算2*n^(x/2)個結果，如果n為分支數，x為步數。相比於之前僅用極小極大演算法的n^x，效率提高了很多。這也就意味著，如果在象棋比賽中，假設使用極小極大的演算法，計算機能往前評估7步，加上剪枝演算法，計算機能往前評估14步。極小極大和剪枝演算法曾在IBM開發的國際象棋超級電腦，深藍（Deep Blue）中被應用，並且兩次打敗當時的世界國際象棋冠軍。