第十六講傅立葉級數拓展

阿新 • • 發佈：2018-11-28

一，推論：

一個函式 $f(t)$ 不能有兩個不同的傅立葉級數，因為傅立葉係數公式表明 $f(t)$ 對應唯一的 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 。

二，奇偶性（縮減計算）：

如果 $f(t)$ 是偶函式，即 $f(-t)=f(t)$ ，y軸對稱，那麼 $f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}cos(nt)$ ， $b_{n}sin(nt)=0$ ， $b_{n}=0$

證明： $\because$ $f(-t)=f(t)$
$\therefore$ $\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }[a_{n}cos(nt)-b_{n}sin(nt)]=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }[a_{n}cos(nt)+b_{n}sin(nt)]$
$\therefore$ $-b_{n}sin(nt)=b_{n}sin(nt)$
$\therefore$ $-b_{n}=b_{n}=0$
如果 $f(t)$ 是偶函式，那麼 $f(t)cos(nt)$ 是偶函式， $\int_{0}^{2\pi }f(t)cos(nt)dt=2\int_{0}^{\pi }f(t)cos(nt)dt$
因此， $a_{n}=\frac{1}{\pi }\int_{0}^{2\pi }f(t)cos(nt)dt=\frac{1}{\pi }\cdot 2\int_{0}^{\pi }f(t)cos(nt)dt$ ， $b_{n}=0$ 因為 $f(t)$ 是偶函式

如果 $f(t)$ 是奇函式，即 $-f(t)=f(t)$ ，原點對稱，那麼 $f(t)=\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}sin(nt)$ ， $a_{n}cos(nt)=0$ ， $a_{n}=0$

證明：同上
如果 $f(t)$ 是奇函式，那麼 $f(t)sin(nt)$ 也是偶函式（奇X奇=偶）， $\int_{0}^{2\pi }f(t)sin(nt)dt=2\int_{0}^{\pi }f(t)sin(nt)dt$
因此， $b_{n}=\frac{1}{\pi }\int_{0}^{2\pi }f(t)sin(nt)dt=\frac{1}{\pi }\cdot 2\int_{0}^{\pi }f(t)sin(nt)dt$ ， $a_{n}=0$ 因為 $f(t)$ 是奇函式

三，傅立葉級數與泰勒級數的不同之處：

圖上 $f(t)$ 是奇函式， $a_{n}=0$
$b_{n}=\frac{1}{\pi }\cdot 2\int_{0}^{\pi }t\cdot sin(nt)dt$
分部積分法：設 $u=t$ ， $v=-\frac{cos(nt)}{n}$

， ${v}'=sin(nt)$
$b_{n}=\frac{2}{\pi }[(\left. -t\cdot\frac{cos(nt)}{n})\right|^{\pi}_{0}-\int_{0}^{\pi }\frac{-cos(nt)}{n}dt]$
$\because$ $cos(n\pi )=(-1)^{n}$
$\therefore$ $b_{n}=\frac{2}{\pi }[-\pi \cdot\frac{(-1)^{n}}{n}+\left. (\frac{sin(nt)}{n^{2}}) \right |^{\pi }_{0}]=\frac{2}{\pi }[-\pi \cdot\frac{(-1)^{n}}{n}]=2\cdot \frac{(-1)^{n+1}}{n}$
結果： $f(t)=\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}sin(nt)=2\sum_{n=1}^{\infty }[\frac{(-1)^{n+1}}{n}\cdot sin(nt)]=2[sin(t)-\frac{1}{2}sin(2t)+\frac{1}{3}sin(3t)-......]$
結果說明：傅立葉級數和泰勒級數不同之處在於，它不是從中心點（部分）開始逐漸趨近函式，而是從整個區間（整體）開始逐漸趨近函式。視訊25:30~29:30

四，收斂性：

如果函式 $f(t)$ 在點 $t_{0}$ 附近連續，那麼傅立葉級數是收斂的，公式 $f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }[a_{n}cos(nt)+b_{n}sin(nt)]$ 成立
如果函式 $f(t)$ 的 $t_{0}$ 點為跳躍間斷點，那麼傅立葉級數在該點收斂於“跳躍的中點”，如圖：
$f(t)=2\sum_{n=1}^{\infty }[\frac{(-1)^{n+1}}{n}\cdot sin(nt)]$ ，當 $t=t_{0}$ 時， $f(t)=0$

五，拓展1：

基本概念釐清：

$sin(\theta )$ ， $\theta=nt$ ：弧度=角速度x時間
$sin(nt)$ ， $n=\theta _{0}k$ ：角速度（或用 $\omega$ 表示）=整週弧度x頻率（本該用f表示，這裡與函式f矛盾，所以用k表示）
$\theta _{0}=\frac{\theta }{z}$ ，整週弧度=弧度/周，周無量綱

$T=\frac{t}{z}$ ：週期=時間/周
$k=\frac{z}{t}$ ：頻率=周/時間
$k=\frac{1}{T}$ ：頻率=1/週期

如果把週期 $T_{1}= 2\pi$ 的函式 $f(t_{1})$ 變為週期 $T_{2}= 2L$ 的函式 $s(t_{2})$
基頻率 $k_{0}=\frac{T_{1}}{T_{2}}=\frac{2\pi }{T_{2}}=2\pi k_{2}$ ，基頻率 $k_{0}$ 無量綱，跟頻率 $k_{2}$ 不同，它只是一個比值
因為 $\frac{T_{1}}{T_{2}}=\frac{\frac{t_{1}}{z}}{\frac{t_{2}}{z}}=\frac{t_{1}}{t_{2}}=\frac{2\pi }{T_{2}}$ ，所以 $t_{1}=\frac{2\pi }{T_{2}}\cdot t_{2}=k_{0}t_{2}$
$cos(nt_{1})=cos(nk_{0}t_{2})$ ， $sin(nt_{1})=sin(nk_{0}t_{2})$
$s(t_{2})=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }[a_{n}cos(nk_{0}t_{2})+b_{n}sin(nk_{0}t_{2})]$
$a_{n}=\frac{1}{L}\int_{0}^{2L }s(t_{2})cos(nk_{0}t_{2})dt_{2}$ ，n為任意整數
$b_{n}=\frac{1}{L}\int_{0}^{2L }s(t_{2})sin(nk_{0}t_{2})dt_{2}$ ，n為任意整數
如果 $s(t_{2})$ 是偶函式，那麼 $s(t_{2})=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}cos(nk_{0}t_{2})$
$a_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}s(t_{2})cos(nk_{0}t_{2})dt_{2}$ ， $b_{n}=0$
如果 $s(t_{2})$ 是奇函式，那麼 $s(t_{2})=\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}sin(nk_{0}t_{2})$
$b_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}s(t_{2})sin(nk_{0}t_{2})dt_{2}$ ， $a_{n}=0$

六，拓展2：

如果 $f(t)$ 為非周期函式，取它的有限區間 $[0,L]$ ，對區間做一個週期性延伸，就可以應用傅立葉級數運算。
取有限區間 $[0,L]$ ：
這個延伸可以是偶延伸，也可以是奇延伸
歐延伸：
奇延伸：

第十六講傅立葉級數拓展

一，推論：一個函式不能有兩個不同的傅立葉級數，因為傅立葉係數公式表明對應唯一的和。二，奇偶性（縮減計算）：如果是偶函式，即，y軸對稱，那麼，，證明：如果是偶函式，那麼是偶

第十八講傅立葉變換

一，傅立葉級數的複數形式：一般形式：，週期，，n為任意整數，n為任意整數利用逆向尤拉公式（第十講第二節）展開：原式：第一項：第三項：當時，代入原式：當時：當時：當時：

第十七講利用傅立葉級數求特解

一，幾何變換法，求傅立葉級數：假設是週期，的函式，求它的傅立葉級數。如圖1：第一步，求週期的函式的傅立葉級數。如圖2：因為是奇函式，當，；當，因此，前提：第二步，將壓縮成，週期改變，變，如圖3：的週期，，

第十五講傅立葉級數引入

停更：由於這一講涉及傅立葉級數這個龐大的概念，不懂的小夥伴就會跟我一樣蒙圈，完全刷不動呀。就算勉強刷完也只是一知半解，無法消化。所以我決定從今天起微分方程停更，轉戰斯坦福大學的傅立葉變換及應用。由於這門

高等數學：第十一章無窮級數（2）函式的冪級數展開式、傅立葉級數

§11.5 函式展開成冪級數一、泰勒級數如果在處具有任意階的導數，我們把級數 (1) 稱之為函式在處的泰勒級數。它的前項部分和用記之，且這裡：由上冊中介紹的泰勒中值定理，有當然，這裡是拉格朗日餘項，且。由有。因此，當時，函式的泰勒級數就

高等數學：第十一章無窮級數（3）正弦級數、餘弦級數、週期為2L的周期函式的傅立葉級數

§11.9 正弦級數和餘弦級數一、奇函式偶函式的傅立葉級數一般說來，一個函式的傅立葉級數既含有正弦項，又含有餘弦項。但是，有些函式的傅立葉級數只含有正弦項或只含有餘弦項，究其原因，它與所給函式的奇偶性有關。【定理】以為週期的奇函式展開成傅立葉級數時，它的傅立葉係數適

【線性代數公開課MIT Linear Algebra】第二十四課特徵值與特徵向量的應用——馬爾科夫矩陣、傅立葉級數

本系列筆記為方便日後自己查閱而寫，更多的是個人見解，也算一種學習的複習與總結，望善始善終吧~ 馬爾科夫矩陣Markov Matrix 馬爾科夫矩陣Markov Matrix有兩個性質：所有元素大於等於0，所有矩陣的列相加等於1。這裡性質導致一

傅立葉級數（Fourier Series）和周期現象

及其一個數但是推廣疑問圖形概念比較到你進一步一、前言如果你仔細觀察，工作和生活中充滿了周期現象：旁邊linux driver工程師在調試audio driver的時候播放的1kHz的正弦信號，周末去公園遊玩，遊船推開水面的波紋，硬件工程師調試硬件電路的時

週期訊號的傅立葉級數表示

1. 線性時不變系統對復指數訊號的響應在研究 $LTI$（Linear and Time-invariant System）系統時，將訊號表示成基本訊號的線性組合是很有利的，但這些基本訊號應該具有以下兩個性質：由這些基本訊號能夠構成相當廣泛的一類有用訊號； $LTI$ 系統對每一個基

傅立葉級數說明

轉載不過來，所以給連結：https://blog.csdn.net/constantin_ouc/article/details/78881709 該文章詳細介紹了傅立葉級數的推導，非常不錯，強烈推薦。我補充幾點： 1.指數形式

真正理解傅立葉級數和傅立葉變換

真正理解傅立葉級數和傅立葉變換記得上大學的時候的機械振動還有工程測試利用的傅立葉變化，當時感覺雲裡霧裡的，感覺好難，也就沒有去搞，渾水摸魚也就過來了，然後現在到了研究生階段，發現傅立葉變換呀，卷積呀非常的重要，也是學術研究最基礎的工具。在做人臉識別的時候剛好用上，所以靜下心

從零學前端第十六講

本節課內容 AngularJs與伺服器通訊主講人介紹沁修，葡萄藤技術總監專案經驗豐富，擅長H5移動專案開發。專注技術選型、底層開發、最佳程式碼實踐規範總結與推廣。直播錄屏版 https://v.qq.co

機器學習學習筆記第十六章基於貝葉斯的新聞分類

利用貝葉斯分類器進行文字分類考慮情況 1 對於文字分析，首先我們應該先利用停用詞語料庫對部分大量出現的停用詞進行遮蔽，可以百度直接搜停用詞進行下載我們對於經常出現的詞，有可能是一個不太重要的詞，比

從傅立葉級數到傅立葉變換

程式碼如下： clear close all clc dt=0.001; t=0:dt:20; ft=10*sin(10*t)+2*cos(10*t)+5*sin(5*t)+3*cos(5*t)+sin(2*t)+cos(2*t); figure

（一）連續傅立葉變換與離散傅立葉變換：傅立葉級數（Fourier Series）

訊號的正交分解到傅立葉級數（FS）一、訊號分解為正交函式二、傅立葉級數的三角形式由（一）可知，可將一個週期為T的訊號f(T)，在（t0,t0+T）內表示為三角函式集的線性組合，即：上式即為週期訊號f(t)，在區間（t0,t0+T）內的三角傅立葉級數展開式。Ω=2π/T稱為基波

訊號與系統之（二）傅立葉級數和傅立葉變換

張三愉快地工作著，直到有一天，平靜的生活被打破。經理拿來了一個小的電子裝置，接到示波器上面，對張三說:"看，這個小裝置產生的波形根本沒法用一個簡單的函式來說明，而且，它連續不斷的發出訊號！不過幸好，這個連續訊號是每隔一段時間就重複一次的。張三，你來測試以下，連到我們的裝置上，會產生什麼輸出波形！"張三

【高等數學】淺談傅立葉級數與變換的理解（二）

目錄有助理解傅立葉變換的幾個圖：三角函式的疊加，如何得到方波：（時域上觀察）時域特徵轉換到頻域特徵：雜亂的週期波形訊號（如語音）可以轉換為規則的三角波型號的疊加： 1.傅立葉級數

傅立葉變換和傅立葉級數的區別與聯絡（後續更新補充DTFT、DFS）

傅立葉級數僅適用於週期訊號，傅立葉變換可以視作傅立葉級數的延伸，可以用於分析非週期訊號的頻譜特性。事實上，引入衝擊函式後，週期訊號也可以進行傅立葉變換。傅立葉級數：所有周期訊號都可以分解為不同頻率的

（筆記）斯坦福機器學習第六講--樸素貝葉斯

span || -h 沒有 height 單純去除變量 logistic 本講內容 1. Naive Bayes（樸素貝葉斯） 2.Event models（樸素貝葉斯的事件模型） 3.Neural network （神經網絡） 4.Support vector mac

第三章傅裏葉級數

etc data tran ans 只需要給定 tab 討論 adding 一些概念分段光滑討論在某個區間上的函數f(x),如果該區間可以被分成段，使得每段內的函數f(x)是連續的，且其導數df/dx也是連續的，那麽稱為函數f(x)在此區間上分段光滑。傅

第十六講 傅立葉級數拓展

相關推薦

第十六講傅立葉級數拓展