第十八講 傅立葉變換
阿新 • • 發佈:2018-11-28
一,傅立葉級數的複數形式:
- 一般形式:
- ,週期,
- ,n為任意整數
- ,n為任意整數
- 利用逆向尤拉公式(第十講第二節)展開:
- 原式:
- 第一項:
- 第三項:當時,
- 代入原式:
- 當時:
- 當時:
- 當時:
- 總結:,
二,傅立葉變換:
- 用表示週期為T的,
- 對於任意,其中和都是不變的
- 唯一改變的是
- 頻譜如圖(圖中的和意思相同):
- 兩個不同角速度之間的間距,如圖(圖中的和意思相同):
- 當週期時,周期函式拓展到非周期函式,
- 此時間距,原本離散的角速度變連續了,原本的n從只能取整數變成可以取整個實數
- 這個角速度公式才能在整個實數軸上成立,如圖(圖中的和意思相同):
- 將傅立葉係數代入周期函式:
- 將也代入:
- 當時:,,
- ,這個式子被稱作逆變換
- 而其中,被稱作傅立葉變換
三,傅立葉變換的應用(濾波):
- 首先將進行傅立葉變換,檢視有哪些角速度(角頻率)的波需要去掉,再用濾波器濾掉(濾掉高頻波最簡單的手段就是對傅立葉級數進行積分)如圖(黑線是原函式,藍線是一重積分,綠線是二重積分):