系統深入地研究定義域與值域都是線形空間的子集的函式是數學分析的基本目標之一，我們稱這樣的函式為變換，對映或運算元。

設W，V為兩個集合，我們用記號：T: V -> W 表示T是一個定義域為V且值域在W中的函式。對V中任意x，我們稱W中的元素T(x) 為x在T作用下的象（image），並說T將x對映為T(x)。定義域V的象T(x)稱為T的值域（range）。

零化空間*值域

集合T（V）是W的子空間，而且T將V中的零元素對映為W中的零元素。、

零化空間記為：N(T)

零化度*秩

dim：線性無關向量的個數

稱零化空間N(T)的維數為T的零化度，稱值域T(V)的維數為T的秩。

零化度加秩定義：若V的維數有限，那麼T的維數也有限，而且我們有：
dim N(T) +dim T(V) = dim V

也就是說零化度加秩等於定義域的維數。

逆

對初等函式的研究中，我們證明了可通過對單調函式求反函式來構造新函式。我們將其延伸到線性變換領域：給定函式T，我們的目的是在可能的情況下找到另一個函式S，使得它與T的複合為恆等變換。即 ST= I

基元素的象為指定值的線性變換

前言：
如果V是有限維空間，那麼線性變化T : V -> V 由它在V的基元素上的作用完全確定。

線性變換的矩陣表示

矩陣是作為線性變換的表示而自然引入。

矩陣組成的線性空間

矩陣是作為線性變換的表示而自然引入，矩陣本身也有不依賴於線形變換而獨立存在的理由。此時，它們組成一類新的可以定義代數運算的數學物件。與線形變換的關係使我們引入矩陣的動機，但是我們暫時不考慮這種關係。

線性變換與矩陣之間的同構

來考慮矩陣和線性變換之間的關係，令V和W為有限維線性空間且dim V=n，dimW = m，選定V的基（v1，…，vn）和W 的基（w1，…wm）。
將每一個基元素的象T（vk）表示為W中基元素的線性組合。
T(vk) = sum（tikwt）k= 1,2，3…n
則tik就是m（T）的ik元，因此我們有
m（T） = （tik）
上面定義了一個新的函式m，它的定義域為L(V,W)，它的值都是Mm,n中的矩陣。由於對每個m

結論；什麼是同構
函式m稱為一個同構，對給定的一組基，m建立了所有的線性變換組合L(V，W)與所有的mn矩陣組成的集合的一一對應關係，加法和純量乘法在這個對應關係下保持不變，我們稱線形空間L(V,W)和Mm,n同構（isomorphic）。因為線性變換的定義域和值域的維數相同，因此dim L(V,W) = dim Mm,n = mn
如果V=W且我們為V和W選的基相同，那麼恆等變換I:V->V對應的矩陣m（I）是一個nn的對角矩陣，其主線上的元都為1，其餘元都為0.我們稱這樣的矩陣為恆等矩陣或單位矩陣記為In。