crash的遊戲

阿新 • • 發佈：2018-12-12

題目大意：求： $\sum_{i=0}^m\binom mi\binom {n+m-2i}{k}$ $m\le10^9,k\le300,m+k\le n\le10^9$ 。500組資料。題解：直接暴做。首先注意到 $\binom x k$ 是一個關於 $x$ 的 $k$ 次多項式，設 $\binom xk=\sum_{i=0}^ka_ix^i$ ，則： $\sum_{i = 0}^{m} (\binom{m}{i}) (\binom{n + m - 2 i}{k}) = \sum_{i = 0}^{m} (\binom{m}{i}) \sum_{j = 0}^{k} a_{j} (n +$

m−2i)j=∑i=0kai∑j=0m(mj)(n+m−2j)i=∑i=0kai∑j=0m(mj)∑t=0i(it)(n+m)t(−2j)i−t=∑i=0kai∑t=0i(it)(n+m)t(−2)i−t∑j=0m(mj)ji−t=∑i=0kai∑t=0i(it)(n+m)t(−2)i−tfi−t(m)\sum_{i=0}^m\binom mi\binom {n+m-2i}{k}\\ =\sum_{i=0}^m\binom mi\sum_{j=0}^k a_j(n+m-2i)^j\\= \sum_{i=0}^ka_i\sum_{j=0}^m\binom mj(n+m-2j)^i\\= \sum_{i=0}^ka_i\sum_{j=0}^m\binom mj\sum_{t=0}^i\binom it(n+m)^t(-2j)^{i-t}\\ =\sum_{i=0}^ka_i\sum_{t=0}^i\binom it(n+m)^t(-2)^{i-t}\sum_{j=0}^m\binom mjj^{i-t}\\ =\sum_{i=0}^ka_i\sum_{t=0}^i\binom it(n+m)^t(-2)^{i-t}f_{i-t}(m)

i = 0 \sum m (i m) (k n + m - 2 i) = i = 0 \sum m (i m) j = 0 \sum k a_{j} (n + m - 2 i)^{j} = i = 0 \sum k a_{i} j = 0 \sum m (j m) (n + m - 2 j)^{i} = i = 0 \sum k a_{i} j = 0 \sum m (j m) t = 0 \sum i (t i) (n + m)^{t} (- 2 j)^{i - t} = i = 0 \sum k a_{i} t = 0 \sum i (t i) (n + m)^{t} (- 2)^{i - t} j = 0 \sum m (j m) j^{i - t} = i = 0 \sum k a_{i} t = 0 \sum i (t i) (n + m)^{t} (- 2)^{i - t} f_{i - t} (m)

其中：

f_k(n)=\sum_{i=0}^n\binom nii^k \\=\sum_{i=0}^n\binom ni\sum_{j=0}^kS(k,j)\binom ijj!\\ =\sum_{i=0}^kS(k,i)i!\sum_{j=0}^n\binom nj\binom ji\\ =\sum_{i=0}^kS(k,i)i!\binom ni2^{n-i}

可以在

O(k)

時間內計算，其中

S(k,i)

為第二類斯特林數。綜上，

f_k(n),S(k,i),\{a_k\}

均可在

O(k^2)

時間內求出。（實際上，關於

f_k(n)

，可以使用一些關於生成函式的技巧得知其是一個

O(k)

次多項式與

2^n

的乘積，可以使用拉格朗日插值在

O(k^2)

時間內算出單項（所以說好像沒啥用））總之這樣就做完了。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define mod 1000000007
#define lint long long
#define gc getchar()
#define N 310
#define debug(x) cerr<<#x<<"="<<x
#define sp <<" "
#define ln <<endl
using namespace std;
inline int inn()
{
	int x,ch;while((ch=gc)<'0'||ch>'9');
	x=ch^'0';while((ch=gc)>='0'&&ch<='9')
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');return x;
}
int st[N][N],fac[N],facinv[N],inv[N],a[N],npm[N],pm2[N],f[N];
inline int fast_pow(int x,int k,int ans=1) { for(;k;k>>=1,x=(lint)x*x%mod) (k&1)?ans=(lint)ans*x%mod:0;return ans; }
const int inv2=fast_pow(2,mod-2);
inline int prelude(int n)
{
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=(lint)fac[i-1]*i%mod;
	facin

 
 
              
           
              
              
            
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$x^{n}= 

  
 

    

    
    crash的遊戲
      
							
							
							題目大意：求：
∑i=0m(mi)(n+m−2ik)\sum_{i=0}^m\binom mi\binom {n+m-2i}{k}i=0∑m(im)(kn+m−2i)
m≤109,k≤300,m+k≤n≤109m\le10^9,k\le300,m+k\le 

  
 

    

    
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P2734 遊戲 A Game





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