首先介紹三個定義。
1.設函式 $f\left(x\right)\mathrm{在}{x}_0\mathrm{的}\mathrm{去}$

心 鄰 域 U 0 ( x 0 , δ ) 內 有 定 義 ， 則 lim ⁡

x → x 0 f ( x ) = A 的 充 要 條 件 為 l i m x → x 0 − f ( x ) = l i m x → x 0 + f ( x ) f(x)在x_0的去心鄰域U^{0}(x_0,\delta)內有定義，則\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A的充要條件為lim_{x\rightarrow x_0^{-}}f(x)=lim_{x\rightarrow x_0^{+}}f(x) 稱函式在某點極限存在
2.設函式 $f(x)在x_0的鄰域U(x_0,\delta)內有定義，則函式在某點連續的充要條件為lim_{x\rightarrow x0}f(x)=f(x_0)$稱函式在某點連續
3.設函式 $f(x)在x_0的去心鄰域U^{0}(x_0,\delta)$內有定義，如果極限 $\lim_{x \rightarrow 0}{f(x)-f(x_0) \over x-x_0}$存在,則稱函式在該點可導。

$\because$函式連續，有 $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$存在.即函式連續 $\Longrightarrow$極限存在,
反之若函式在某點極限存在，其在該點的函式值不一定存在，或者與極限值不相等。
$\because$函式在某點可導，極限 $\lim_{x \rightarrow x_0}{f(x)-f(x_0) \over \ x-x_0}$存在,又 $\because \lim_{ x\rightarrow x_0}\ x-x_0$=0。有 $\lim_{x\rightarrow x_0}({f(x)-f(x_0)})=0$通過極限運算有 $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$,有函式連續,即函式可導 $\Longrightarrow$函式連續
若函式連續，則有 $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y=0,\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta x=0$有無窮小量的知識可以知道 $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\Delta y \over \Delta x}$的值有三種情況，為0，c,無窮大(此時極限不存在）所以函式在某點連續，其不一定在該點可導
綜上，有函式在某點可導 $\Longrightarrow$函式在該點連續 $\Longrightarrow$函式在該點極限存在，反向不能推導。