CodeForces 1060C Maximum Subrectangle

題目大意

給定兩個長度分別為$N,M$的兩個數列$A,B$及一個數$X$，定義矩陣$C$，其中$C_{i,j}=A_i\times B_j(1\le i\le N,1\le j\le M)$，要求找出最大的矩形，使得$\sum_{i=x_1}^{x_2}{\sum_{j=y_1}^{y_2}{C_{i,j}}}\le X$

思路

如果有讀者想了解$O(N^2\log_2 N^2)$的演算法，請移步至這裡（由於那篇文章是整場比賽的部分題解，所以請耐心翻到C題）。

我們先來推一下式子： $\sum_{i=x_1}^{x_2}{\sum_{j=y_1}^{y_2}{C_{i,j}}}=\sum_{i=x_1}^{x_2}{\sum_{j=y_1}^{y_2}{(A_i\times B_j)}}\\=\sum_{i=x_1}^{x_2}{A_i}\times\sum_{i=y_1}^{y_2}{B_j}$

不難發現這東西和$(x_2-x_1+1),(y_2-y_1+1)$有關，即當有一方長度一定時，這方的值越小，則另一方的值越大，則另一方的長度越長，則面積最大。所以我們可以開一個數組$f[i]$，表示長度為$i$的序列的和的最小值，分別對$A,B$進行計算。再加上一個字首和，時間複雜度為$O(N^2)$。

接下來只需列舉長度，在兩個f陣列中找出所有的乘積小於$X$

綜上，總時間複雜度為$O(N^2)$，顯然可以過掉此題。

正解程式碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int Maxn=2000;

ll N,M,X,A[Maxn+5],B[Maxn+5];
ll suma[Maxn+5],sumb[Maxn+5];
ll fa[Maxn+5],fb[Maxn+5];

int main() {
	#ifdef LOACL
	freopen("in.txt","r",stdin);
	freopen("out.txt","w",stdout);
	#endif
	scanf("%d %d",&N,&M);
	for(int i=1;i<=N;i++) {
		scanf("%d",&A[i]);
		suma[i]=suma[i-1]+A[i];
	}
	for(int i=1;i<=M;i++) {
		scanf("%d",&B[i]);
		sumb[i]=sumb[i-1]+B[i];
	}
	scanf("%d",&X);
	memset(fa,0x3f,sizeof fa);
	memset(fb,0x3f,sizeof fb);
	for(int l=1;l<=N;l++)
		for(int i=1;i+l-1<=N;i++)
			fa[l]=min(fa[l],suma[i+l-1]-suma[i-1]);
	for(int l=1;l<=M;l++)
		for(int i=1;i+l-1<=M;i++)
			fb[l]=min(fb[l],sumb[i+l-1]-sumb[i-1]);
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=N;i++)
		for(int j=1;j<=M;j++)
			if(fa[i]*fb[j]<=X)
				ans=max(ans,i*j);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}