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NOIP 2012 同餘方程

菜到數論啥也不會了orz...

根據擴充套件歐幾里得定理:ax + by = gcd(a,b)必定有至少一組解,且可以通過這個演算法求出x,y的一組解

過程如下:

根據gcd(a,b) = gcd(b,a % b)可以得出

ax1 + by1 = gcd(a,b) 等價於 bx2 + (a % b)y2 = gcd(b,a % b) = gcd(a,b)

又因為a % b = a - [a / b] * b(可以手推一下證明)

那麼右式即為:bx2 + ay2- [a / b] * by2

       = ay2 + b(x2  - [a/b] * y2)

那麼:x1 = y2,y1 = x2 - [a / b] * y2

這樣我們就可以得到一個遞迴式,那麼邊界呢?

當b = 0時,gcd(a,0) = a,所以b = 0,x = 1,y = 0

這樣就基本ok

稍等!由於解出來的可能是負數,所以你要 + b 再 % b

以上

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll x,y;
void exgcd(ll a,ll b)
{
  if(b == 0)
    {
      x 
= 1,y = 0; return; } exgcd(b,a % b); ll t = x; x = y; y = t - (a / b) * y; return; } int main() { ll a,b; scanf("%lld%lld",&a,&b); exgcd(a,b); x = (x + b) % b; printf("%lld",x); return 0; }