NOIP 2012 同餘方程
阿新 • • 發佈:2018-12-13
菜到數論啥也不會了orz...
根據擴充套件歐幾里得定理:ax + by = gcd(a,b)必定有至少一組解,且可以通過這個演算法求出x,y的一組解
過程如下:
根據gcd(a,b) = gcd(b,a % b)可以得出
ax1 + by1 = gcd(a,b) 等價於 bx2 + (a % b)y2 = gcd(b,a % b) = gcd(a,b)
又因為a % b = a - [a / b] * b(可以手推一下證明)
那麼右式即為:bx2 + ay2- [a / b] * by2
= ay2 + b(x2 - [a/b] * y2)
那麼:x1 = y2,y1 = x2 - [a / b] * y2
這樣我們就可以得到一個遞迴式,那麼邊界呢?
當b = 0時,gcd(a,0) = a,所以b = 0,x = 1,y = 0
這樣就基本ok
稍等!由於解出來的可能是負數,所以你要 + b 再 % b
以上
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<iostream> using namespace std; typedef long long ll; ll x,y; void exgcd(ll a,ll b) { if(b == 0) { x= 1,y = 0; return; } exgcd(b,a % b); ll t = x; x = y; y = t - (a / b) * y; return; } int main() { ll a,b; scanf("%lld%lld",&a,&b); exgcd(a,b); x = (x + b) % b; printf("%lld",x); return 0; }