今天學習Hilbert空間，在知乎上查找了一些資料，知道了這幾個空間的區別與聯絡。（僅做個人知識學習筆記）

線性空間：由基底和座標定義的空間，只有加法和數乘的運算。

如果想要知道向量的長度，我們就給它加上範數的定義，由線性空間變成了賦範線性空間。

如果想要知道向量的角度，我們就給它加上內積的定義，由線性空間變成了內積空間。

內積的有限維實線性空間稱為歐式空間

如果想要研究收斂性，我們就給它加上極限的定義，由線性空間變成了完備空間。

由賦範線性空間加上完備的概念，我們就得到了Banach空間

由內積空間加上完備的概念，我們就得到了Hilbert空間

Hilbert空間, 基底一般是函式,常見的是含有各種頻率的平面波函式,一種頻率對應一個基底 維度是無窮.這些基底, 即平面波函式是完備的(Hilbert空間中的任何元素都可以用平面波函式展開, 其實就是指傅立葉變換), 正交(平面波函式做"點積"為delta函式). Hilbert空間中任意兩元素也可以定義算符G, 也就是操作. 我們常常對保持元素"長度"(自己和自己"點積")不變的操作感興趣. 由於Hilbert空間是複數域上的,常見的3D向量空間是實數域上的, 所以G^2=1 的G 和F 是不同的, 雖然表示式相同. 建立Hilbert空間的目的是為量子力學中的計算提供強有力的數學基礎, 也方便了抽象出其中更本質的運算.包括之後進行的關於對稱性的討論, 都是定義在Hilbert空間上的.