深刻理解空間（線性空間，度量空間，賦範空間，線性賦範空間，內積空間，巴拿赫空間以及希爾伯特空間）
在我們學習矩陣理論和統計理論的時候，總是會出現“**空間”。在之前的時候對於空間理解的過程中，總是試圖拿出一個具體的例子來加深自己的理解。但是這樣做是不對的，因為如果說對於類似“歐幾裡何空間”這樣的空間，跟我們生活中的三維空間極為相似，我們確實可以想象到一個具體的例子，但是對於類似“希爾伯特空間”之類的，我們很難用一個具體的例項來印證。所以，“**空間”到底是個什麼東西呢？
很感謝交大王老師的公開課“數學之旅”，通俗地解釋了空間到底是個什麼東西。附上鍊接：《數學之旅》——王維克。
下面我們從簡單的距離空間開始，先理解空間是什麼。
一、距離空間（度量空間）
從初中就開始學習“距離”的概念，我們總是想到這樣一個情景：在三維座標（空間）中有兩個點（
（1）
而距離所組成的空間是什麼？我們能夠用上式來理解距離空間嗎？答案是最好不要。因為距離不只有形如上式（1）的直線距離，還有航海時的球面距離，還有路徑中的折線距離等等。如下圖：實際中我們從A到B的距離是折線距離。
對於距離，我們分別可以這樣定義：
折線距離
最大距離
既然是這樣，我們應該如何去理解“距離空間”這個概念呢？為了便於理解，我們來舉另外一個例子：字典中對蘋果、水果的解釋：
| 蘋果 | 雙子葉植物，薔薇科。落葉喬木。花淡紅或淡紫紅色。大多自花不孕，需異花授粉。果實由子房和花托發育而成。果肉清脆香甜，能幫助消化。 |
| 水果 | 供食用的含水分較多的植物果實的統稱。為家庭或待客常用的果品。如梨﹑桃﹑蘋果等。 |
| 熱帶水果 |
換句話說，蘋果是一個具體的東西，因此我們可以用具體的表述來描述；而水果是一個抽象的集合，因此我們描述空間的時候，只能用其通用的屬性。類比起來，蘋果就好像是我們說的直線距離，而距離空間就是水果。這是一個抽象的東西，因此我們用這個集合中的元素所共有的屬性來定義。空間中的元素，通俗來說交空間中的點。
所以我們可以這樣來定義距離空間：
設X是非空集合，對於X中任意的兩個元素x與y，按某一法則都對應唯一的實數d(x，y)，而且滿足下述三條公理：
(1)(非負性)d(x，y)≥0，[d(x，y)=0，當且僅當x=y]；
(2)(對稱性)d(x，y)=d(y，x)；
(3)(三角不等式)對於任意的x，y，z∈X，恆有d(x，y)≤d(x，z)+d(z，y)。
則稱d(x，y)為x與y的距離，並稱X是以d為距離的距離空間。
二、線性空間（向量空間）
線性空間即定義了數乘和加法的空間，就是具有線性結構的空間。 有了線性空間的概念之後，因為有數乘和加法，所以空間中可以找到一組基底（Basis）能夠通過線性組合得到空間中所有的點。並且滿足八項規則（交換律、結合律等）。
三、範數空間（賦範空間）
設是
的範數，滿足：
(1)(非負性)
(2)
(3)(三角不等式)對於任意的x，y，z∈X，恆有d(x，y)≤d(x，z)+d(z，y)。
我們看到，如果把範數看做到原點的距離，那麼範數空間，在距離空間的基礎上，再加一個條件。（這就好像是在水果的基礎上，再加一個條件：產於熱帶，就變成了熱帶水果）。也就是說，我們可以通過範數來定義距離，但是不能通過距離來定義範數d(x,y) = ||x-y||。
如：(1) 對應直線距離。
(2) 對應折線距離
四、線性賦範空間、線性度量空間
線性賦範空間（和線性度量空間），即是在賦範空間（和度量空間、距離空間）的基礎上，再加一個條件：線性結構。
五、內積空間
到上面為止，還不是我們所看到的空間，因為雖然範數代表了向量的長度，但是還沒有角度。所以我們需要引入角度的概念，藉助內積。
設K是實數域或複數域，H是K上線性空間，如果對H中任何兩個向量x，y，都對應著一個數(x，y)∈K，滿足條件：
1.(共軛對稱性)
2.(對第一變元的線性性)對任何x，y，z∈H及α，β∈K，有(αx+βy，z)=α(x，z)+β(y，z).
3.(正定性)對一切x∈H，有(x，x)≥0且(x，x)=0⇔x=0
到現在為止，內積空間就是我們通俗意義上所認識的空間，也叫作歐幾裡何空間（有限維的內積空間）。在這個空間上，我們可以提出向量的投影等運算。
六、巴拿赫空間和希爾伯特空間
說到這，我們再說一個概念，交完備性。也即是在取極限的時候，不會跑出去這個空間，就叫做空間的完備性。比如實數集是完備的，而有理數集是不完備的。有理數數列取極限可能是無理數。
賦範空間+完備性=巴拿赫空間
內積空間（無限維）+完備性=希爾伯特空間
換個角度來理解函式空間，如泰勒展開，是將f(x)表示為{}的線性組合的形式；比如傅立葉展開，是將f(x)表示成無限三角函式線性組合的形式。而{
}或無限維的三角函式，也叫作一個函式空間的基。
七、拓撲空間
以上都是距離或者線性空間的基礎上逐漸增加條件，那如果嘗試減少條件呢？比如不要角度的概念，甚至不要距離的概念。比如“連續”的定義：對所有的即為連續。或者寫成
。
。
換句話說，拓撲是元素X與其規則合起來。所以，拓撲是弱化了的距離，能描述的範圍最廣泛。
舉例，如果距離是水果，範數是熱帶水果，那麼拓撲就是植物。