什麼是二次規劃？

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二次規劃是最簡單的約束非線性規劃問題，對於h和g是線性函式的特殊情況，可以寫成：
$minf$

( x ) = 1 2 x T H x + g T x ,    x ∈ R

n min~~f(x)=\frac{1}{2}x^THx+g^Tx,~~x\in R^n
$s.t.~~a_i^Tx-b_i=0,~ i\in E=\{1,2...,l\}$
$~~~~~~~a_i^Tx-b_i\geq 0,~ i\in I=\{l+1...,m\}$
其中 $H\in R^{n\times n}$; $a_i,g,x\in R^n$; $b\in R^m$;
我們將上述問題記為問題1 。

1. 若 $H$為正定矩陣，則問題稱為嚴格的凸二次規劃問題
2. 若 $H$為半正定矩陣，則問題稱為凸二次規劃問題。
   凸二次規劃是 一種特殊的凸二次規劃。對於如上特殊形式的約束，可行域只要不空必定是凸集，當目標函式是凸函式時，二次規劃的K-T點必為二次規劃的全域性極小點。

Q1: 什麼是KT點？
KT點即滿足KT條件的點，KT條件全稱為Kuhn-Tucker條件，是線性規劃中的一個重要條件。
對於上述問題1, 可利用拉格朗日乘子的方法表示為： $L(\lambda,x)=f(x)+\lambda(Ax-b)$, 其中 $\lambda\in R^{m}$。則利用拉格朗日乘子法求解極值的表示為：
(1) $Hx^*+g-\sum_{1}^{m}\lambda_i^*a_i=0$
(2) $a^T_ix-b_i=0, 1\leq i\leq l$
(3) $a^T_ix-b_i\geq 0, l+1\leq i\leq m$
(4) $\lambda_i^*\geq 0, l+1\leq i\leq m$
(5) $\lambda^*_i(a_i^Tx^*-b_i)=0, l+1\leq i\leq m$

Q2: 凸二次規劃有哪些型別？
凸二次規劃按照約束的型別有三種組合，1、只含有等式的約束。 2、只含有不等式約束。 3、既含有等式約束，又含有不等式約束，如問題1所示。其中僅含有等式約束的凸二次規劃問題可以通過直接求解法或拉格朗日乘子法進行求解。而含有不等式約束的問題的求解可以通過有效集的方法進行求解。

Q3: 有效集是什麼意思？
下面講解一些基本概念：
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基本問題：
問題I
$min~~f(X)~~s.t.~~g_j(X)\geq0,~j=1,...,p$
問題II
$min~~f(X)~~s.t.~~g_j(X)\geq0,~j=1,...,p;~~h_i(X)=0,~i=1,...,m$
（1）起作用(緊)約束、可行域
$X^{(0)}$是I的可行解，若 $g_j(X^{(0)})=0$， 則稱 $g_j(X)\geq0$ 為 $X^{(0)}$

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