秒懂傅立葉變換
有些圖片顯示不出來，建議在知乎連結中看本文：
<前言>
傅立葉分析之掐死教程，我看了，說實話我覺得有點繞，如果沒學過傅立葉變換我覺得不可能看一遍就懂，估計會卡死很久。尤其是那些向量圖和大海螺旋圖，讓我一臉懵逼，懷疑自己沒學過傅立葉變換。
仔細一想，作者說“要讓讀者在不看任何數學公式的情況下理解傅立葉分析”。這就麻煩了，數學語言簡潔直接，要最快理解顯然應該不應該走這條路，而應該先把相關的數學知識搞清楚到能理解傅立葉變換的程度。
當然像作者這樣去講述也是很棒的（尤其是我引用的那張圖，很清晰），但是我總覺得這樣會使已經有一點數學基礎的人看的更暈，沒有數學基礎的同學也不可能很快理解。
</前言>
<正文>
我們可以將任意訊號強度隨時間變化的規律寫成函式F（X）中，x表示時間。
任意訊號往往非常複雜毫無規律，難以用數學式表示，於是我們希望將函式F（X）分解為幾個簡單的函式相加的形式，分解如下表示：
我們自然希望找到一種分解（選擇一種合適的基底函式），能夠很方便地求出係數C_N。數學家告訴我們三角函式，復指數函式正是合適的基底函式。
利用三角函式系或復指數函式系展開的函式級數被稱為傅立葉級數。
週期為Ť的函式F（X）傅立葉級數展開如下：
數學家（知道我們不會算）同時告訴了我們係數：
式中a_n，b_n是傅立葉係數，ω為基頻，與週期T或頻率f的關係是ω=2π/ T =2πf。
補充一下振幅和相位的定義
把頻率作為X軸（數值用Ñ表示），把振幅的作為ÿ軸，可以畫出頻譜圖（幅度譜）：
（隨便取的數值）
利用頻譜圖還可以直觀地分析各諧波分量的組成以及比重。當然還有相位譜圖，頻率作為X軸（數值用Ñ表示），相位φ作為ý軸就好了。
如上所述，我們可以將一個複雜的週期性訊號分解成幾個簡單的簡諧波疊加。
（把複雜的波形變成如上幾根線段，真是太爽了！）
那非週期性函式怎麼辦？非周期函式的傅立葉展開式，週期無限大，採用傅立葉積分。
傅立葉積分是傅立葉級數取極限得到的，推導過程如下圖所示：
（前方復指數函式警告，沒學過可以跳過下圖推導）
（非週期拿幾個簡諧波疊加湊不好，那就多幾個，無限多個來個積分總夠了吧！）
對比一下傅立葉級數的式子：
非週期訊號的F(f)就是週期性訊號的An（也就是一開始說的係數）。
非週期訊號和週期性訊號的區別就在於頻譜是否連續：
（兩圖的數值都是亂定的）
<總結一下>
所以呢，傅立葉變換就是在分解一個函式的過程中，某個叫傅立葉的人發現某種分解方式特別簡潔好算，然後就把這種分解方式（變換）命名為傅立葉變換。
從數學上理解，就是把一個函式寫成幾個（或者無限個，取個極限）函式（三角函式或復指數函式）相加的過程。
從訊號處理的角度來理解，就是把一個在時域上非常複雜的訊號函式（隨時間變化非常複雜），轉變為在頻域上相對簡單便於處理的頻譜函式的過程。
下圖非常直觀地表現了這一過程。基底函式是三角函式，原始訊號函式前面那個是影象類似於矩形波的函式。如果要分解真正的矩形波（顯然是非周期函式），右側頻譜影象就是連續的。
</總結一下>
很多時候會把f寫成u：
還有傅立葉反（逆）變換：
傅立葉變換是互逆的，唯一的。如果沒有這一性質，就不能將一個空域的函式變換為頻域進行分析，再變換回空域。
二維函式的傅立葉變換和反變換分別定義為：
其中f(x,y)是一幅影象，F(u,v)是它的傅立葉變換。u, v是傅立葉變換的空間頻率。
</正文>
<遙感數字影象處理原理課的複習>
空間頻率在上一節課《數字影象處理的光學基礎》中已經講過，可以理解為等相位線在x,y座標投影的截距的倒數。對於影象訊號，空間頻率是指單位長度內亮度作週期性變化的次數。
空間頻率的概念在影象處理中十分重要。瞭解噪聲、線、細節、背景或平滑區域等對應的空間頻率特性，才能更好地對影象進行處理。
空間頻率知識細節對應到光學，涉及阿貝成像理論：
物體經過光學系統到像經歷了兩個過程：
（1）物經過光學系統後，在它的後焦面上形成衍射圖樣（夫琅和費衍射）。
（2）以衍射圖樣為次波波源，在像平面上產生振幅疊加而構成了物的像。
這兩個過程分別對應傅立葉正變換和傅立葉反變換。阿貝在數學上證明了，二次成像過程就是對二維光場的復振幅進行正，反兩次傅立葉變換的過程。
第一次是把光場復振幅的空間分佈，變成光學系統後焦面上的空間頻率的分佈。
第二次的作用是把空間頻率分佈還原成光場復振幅的空間分佈。
光的二次傅立葉變換，是數字影象處理中改善影象質量的光學理論基礎。