關於傅立葉變換，知乎上已經有一篇很好的教程，因此，這篇文章不打算細講傅立葉的物理含義，只是想從圖像的角度談一談傅立葉變換的本質和作用。

本文假設讀者已經熟知歐拉公式：
\[ e^{j\pi x}=\cos{\pi x}+j\sin{\pi x} \]
並且知道高數課本中給出的傅立葉變換公式：
\[ f(x) ～ \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{[a_n \cos{nx}+b_n\sin{nx}]} \]
其中 \(a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)\cos{nx}}dx\)，\(b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)\sin{nx}}dx\)

當然，線性代數也還是要懂一些的。

圖像的表示

傅立葉變換本質上是把信號從時空域變換到頻率域。但在圖像裏面，這個本質又說明什麽呢？

為了搞清楚這一點，我們先回顧一下，什麽是圖像。

通常來說，我們看到的計算機裏的圖像是一個二維矩陣：

比如，上面這個只有四個像素點的圖片，就是一個這樣的矩陣（不要在意數值大小，你可以把它們歸一化到常用的 0～255 區間，但本質上它們表達的信息是一樣的）：
\[ \begin{bmatrix} 0.4 & 0.6 \0.8 & 0.2 \end{bmatrix} \]
假設圖像是 \(f(x)\)，這個 \(f(x)\) 就是我們常說的信號。這個信號表面上看是一個矩陣，其實它是由幾個最基本的向量的線性組合產生的：
\[ f(x)=0.4 \times \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}+0.6 \times \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}+0.8 \times \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}+0.2 \times \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

其實，從線性代數的角度出發去思考問題，你會發現，圖像這種信息是由一些最基本的元素組合而成的。這些元素在線性代數中被稱為基向量，它們構成的集合稱為基底。選擇不同的基底，信息就可以有多種不同的表示。例如上圖中，我們選擇的是最常見的基底：
\[ \{\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\} \]

如果換成另外一組基底，就會得到另一種表示。甚至，在計算機視覺中，我們常常會提取圖像的語義信息，把圖像轉換到其他一些高維空間。但不管怎樣，它們本質上都是從某一個特殊的角度來表示圖像這一信息，只是不同的基底下，表示出來的特征有所不同，有些適合肉眼觀看，有些適合計算機識別。

那傅立葉變換是想幹嘛？其實就是換了另一種基底（正/余弦函數）來表示圖像。傅立葉變換之所以重要，是因為它所采用的基底具有一些非常好的性質，可以方便我們對圖像進行處理。

傅立葉變換

這一節中，我們就來看看，如何把圖像用傅立葉的基底表示出來，也就是我們常說的圖像的傅立葉變換。

首先，要明確，在一組基底下，信息的表示是什麽。回到上一節的例子，\(f(x)=\begin{bmatrix} 0.4 & 0.6 \\ 0.8 & 0.2 \end{bmatrix}\)，有沒有發現，在特定基底下，信息是用這些基底線性組合的權重來表示的。只要我們有了這些權重信息，就可以用基底向量的線性組合把信息恢復出來。

因此，對於傅立葉變換而言，我們要求的其實就是基底的權重。

那傅立葉變換的基底是什麽呢？如果你看過前面說的那篇教程，你會發現，傅立葉是用無窮多個三角函數的疊加來逼近原來的信號。因此，對於傅立葉變換而言，它的基底其實就是這些三角函數，而我們要求的則是這些函數的線性組合參數。

回到最開始的傅立葉公式：
\[ f(x) ～ \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{[a_n \cos{nx}+b_n\sin{nx}]} \]
有沒有看到，這個公式已經揭示了這些三角函數的系數，也就是我們要求的線性組合參數。公式前面的 \(a_0\) 是可以統一進去的。下面，我們就從它出發，看看如何推導出統一的參數表示。

（??以下是公式重災區，恐懼者可直接跳到結論部分）

首先，我們考慮更一般的情況，即函數 \(f(x)\) 的周期是 \(T\)（上面這個公式的周期是 \(2\pi\)），然後將 \(f(x)\) 表示成另一種形式：
\[ f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty {[a_n\cos{\frac{2n\pi x}{T}}+b_n \sin{\frac{2n\pi x}{T}}]} \]
其中，\(a_0=\frac{1}{T}\int_0^T{f(x)dx}\)，\(a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^T{f(x)\cos{\frac{2n\pi x}{T}dx}}\)，\(b_n=\frac{2}{T}\int_0^T{f(x)\sin{\frac{2n\pi x}{T}dx}}\)。

註意，這個表示和之前的公式沒有本質區別。

接下來，對 \(f(x)\) 進行一系列操作：
\[ \begin{eqnarray} f(x)&=&a_0+\sum_{n=1}^\infty {[a_n\cos{\frac{2n\pi x}{T}}+b_n \sin{\frac{2n\pi x}{T}}]} \&=&a_0+\sum_{n=1}^{\infty}{[a_n\cos{\omega_nx+b_n\sin{\omega_nx}}]} \\ &=&a_0+\sum_{n=1}^\infty{[a_n(\frac{e^{j\omega_n x}+e^{-j\omega_n x}}{2})+b_n(\frac{e^{j\omega_n x}-e^{-j\omega_n x}}{2j})]} \&=&a_0+\sum_{n=1}^\infty{(\frac{a_n-jb_n}{2})e^{j\omega_n x}+\sum_{n=1}^\infty{(\frac{a_n+jb_n}{2})e^{-j\omega_nx}}} \end{eqnarray} \]
其中，\(\omega_n=\frac{2n\pi}{T}\)。

下一步，繼續化簡括號裏的東西：
\[ \begin{eqnarray} \frac{a_n-jb_n}{2}&=&\frac{1}{2}[\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\cos{\omega_n x\ dx-j\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\sin{\omega_nx\ dx}}] \&=&\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)[\cos{\omega_n x-j\sin{\omega_n x}}]\ dx \&=&\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(x)e^{-j\omega_n x}}\ dx \&=&c_n \end{eqnarray} \]
其中，\(c_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(x)e^{-j\omega_n x}}\ dx\)。

用上面的結果化簡公式右邊的內容：
\[ \begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty{(\frac{a_n+jb_n}{2})e^{-j\omega_n x}}&=&\sum_{n=-\infty}^{-1}{(\frac{a_{-n}+jb_{-n}}{2})e^{-j\omega_{-n}x}} \&=&\sum_{n=-\infty}^{-1}{(\frac{a_n-jb_n}{2})e^{j\omega_n x}} \&=&\sum_{n=-\infty}^{-1}{(\frac{a_n-jb_n}{2})e^{j\omega_n x}} \&=&\sum_{n=-\infty}^{-1}{c_n e^{j\omega_n x}} \end{eqnarray} \]
這樣一來，我們就得到一個統一的表達式：
\[ \begin{eqnarray} f(x)&=&a_0+\sum_{n-1}^{\infty}{(\frac{a_n-jb_n}{2})e^{j\omega_n x}+\sum_{n=1}^{\infty}{(\frac{a_n+jb_n}{2})e^{-j\omega_n x}}} \&=&c_0+\sum_{n=1}^{\infty}{c_ne^{j\omega_n x}+\sum_{n=-\infty}^{-1}c_n e^{j\omega_n x}} \&=&\sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_ne^{j\omega_n x}} \end{eqnarray} \]
碼了這麽多公式後，我們終於得到了一個關於三角函數的線性組合的形式。再經過傅立葉變換後，函數 \(f(x)\) 就變成了一個向量的形式：\({[\dots, c_{-n}, \dots, c_0, c_1, c_2, \dots, c_n, \dots]}\)。這裏的 \(c_n\) 就是我們通常說的傅立葉變換，而公式中的 \(e^{j\omega_nx}\) 就是傅立葉變換的基底。

接下來，我們想知道，對於一張圖片而言，這個 \(c_n\) 該怎麽求。

我們先考慮一維的情況（你可以想象成一個寬度為 \(N\)，高度為 1 的圖片）。在公式中，\(c_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(x)e^{-j\omega_n x}}\ dx\)，這是對連續函數而言的，但計算機中的圖像信號是離散的，因此，我們要把積分符號換成求和符號。另外，周期用圖像的寬度代替。這樣，我們就得到圖像中的傅立葉變換：\(c_n=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}f(x)e^{-j\omega_n x}\)。

然後，有同學會問，這樣的 \(c_n\) 有多少個呢？在我們前面推導的公式中，\(c_n\) 有無窮多個，這時符合傅立葉的前提假設的：無窮多個三角函數的疊加才能構成原來的信號。但是，計算機只能表示有窮的信息，因此，我們需要進行采樣。好在，實際情況中，當 \(n\) 的值越來越大時，\(c_n\) 的值會漸漸趨於 0，因為圖片中的高頻分量往往比較小，所以這一部分高頻的三角函數的系數 \(c_n\) 的值也會很小（公式中，頻率 \(\omega_n=\frac{2n\pi}{N}\)，\(n\) 越大也就表明頻率越大）。實際操作中，我們會取 \(N\) 個 \(c_n\)，其中 \(N\) 就是圖像信號的周期。因此，我們最終得到圖像中的傅立葉變換：
\[ F(u)=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}f(x)e^{-j2\pi ux/N} , \ \ u=0,1,...,N-1 \]
公式中的 \(f(x)\) 指的就是圖片中 x 位置的像素值，這也說明，傅立葉變換是綜合計算圖像像素的整體灰度變化後得到的。如果圖像中高頻信息比較大（即圖像灰度變化很劇烈），則對於頻率高的基底向量（\(u\) 的值比較大），其對應的權重 \(F(u)\) 的值也會比較大，反之亦然。

傅立葉逆變換

所謂傅立葉逆變換，就是在得到一堆傅立葉變換的參數 \(F(u)\) 後，如何反推回去，得到空間域的圖像。

其實非常簡單，前面說了，傅立葉變換就是把時空域下的圖像信號 \(f(x)\) 重新用頻率域的基底來表示。現在，頻率域基底向量的系數 \(F(u,v)\) 已經有了，把它們組合起來就可以得到原來的信號：\(f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_ne^{j\omega_n x}}\)。因此，傅立葉逆變換就是把傅立葉基底向量的系數再累加起來：
\[ f(x)=\sum_{u=0}^{N-1}F(u)e^{j2\pi ux/N}, \ \ x=0,1,...,N-1 \]

二維傅立葉

二維傅立葉其實就是在一維的基礎上，繼續向另一個方向擴展而已，相當於一個二重積分：
\[ \begin{eqnarray} F(u, v)&=&\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x, y)e^{-j2\pi ux/M}e^{-j2\pi vy/N} \\end{eqnarray} \]
傅立葉逆變換：
\[ f(x,y)=\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi ux/M}e^{j2\pi vy/N} \]

參考

• 傅裏葉分析之掐死教程

圖像中的傅立葉變換（一）