一，標準形式：

        ，A和B是常係數

二，求特徵方程：

• 設，t是自變數
• ，
• 標準形式化為：
• 兩邊同時除以，得特徵方程：

三，解特徵方程得通解，有三種情況：

• r是兩個不同的實數：，

1. 通解：
2. 、為方程的兩個解，且線性無關
3.  、為任意常數
4. 設初始條件、，建立方程組，解出、
5. 將、代入通解，解得特解

• r是一對共軛複數：

1. ，是複函式
2. 定理：如果複函式是實微分方程的解，那麼、
3. 證明：視訊31:00~33:15
4. 
5. 
6. ，
7. 通解：
8. 表示震盪的幅度，、表示幅值，表示頻率，、為任意常數
9. 設初始條件、，建立方程組，解出、
10. 將、代入通解，解得特解
11. 利用輔助角公式：，
12. 化簡特解：
    ，
13. 表示相位延遲（右移）

• r是兩個相等的實數：，

1. 標準形式：，，
2. 特徵方程：
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 將、、代入標準形式
8. 解得：
9. 設，，得
10. 
11. 通解：

三，應用：彈簧—質量—阻尼系統

• 如圖
• o點為平衡位置，小車靜止
• 問題：求小車位置x隨時間t變化的函式？
• 建立數學模型：
• 表示小車向右的拉力，表示向左的彈簧力，k表示彈性係數，表示向左的阻尼力
• 化為標準形式：
• 阻尼常數比彈性常數大的情況（無震盪）：
• 設阻尼常數，彈性常數
• 原方程變為：
• 特徵方程：
• 解特徵方程得：，
• 通解：
• 設初始條件：，
• 建立方程組：；
• 解出：，
• 代入通解得特解：
• 繪製解影象：視訊25:00~28:00
• 阻尼常數比彈性常數小的情況（震盪）：
• 設阻尼常數，彈性常數
• 原方程變為：
• 特徵方程：
• 解特徵方程得：
• 通解：
• 設初始條件：，
• 建立方程組……，解出：，
• 代入通解得特解：
• 利用輔助角公式化簡特解：，
• 繪製解影象：視訊40:30~42：30
• 臨界阻尼：
• 設阻尼常數，彈性常數
• 原方程變為：
• 特徵方程：
• 解特徵方程得：
• 通解：
• ……