MIT 線性代數導論 第九講:四個基本子空間
阿新 • • 發佈:2018-12-14
本講的主要內容:
- 四種子空間的概念以及維數、基
四種基本子空間
首先了解四種基本子空間是什麼:
- 列空間(column space),簡記為 , 由矩陣的列向量生成的空間
- 零空間(null space),簡記為 , 方程 的解向量生成的空間
- 行空間(row space),簡記為 (注意這裡的是矩陣的轉置),矩陣的行向量生成的空間
- 左零空間(the null space of ),簡記為,也就是矩陣轉置之後的零空間
接下來討論這四種子空間所屬的空間: 對於一個矩陣()時,結論如下:
- 屬於
- 屬於
- 屬於
- 屬於
這裡注意屬於的意思也就是這些空間均是後面空間的子空間。
接下來討論這幾種子空間的維數: 首先來看 和 列空間和行空間在之前已經進行過討論,這兩個空間的維數的和是矩陣的列空間的數目,也就是:
而對與另兩個,也就是相當於將矩陣轉置之後再進行考慮,因為矩陣的轉置不改變矩陣的秩,所以結論如下:
這裡還是要理解清楚空間的維數是什麼概念(空間的基所含向量的個數),不要搞混了
總結一下上面的兩個結論:
注意不要搞混。
這一講的最後還提到了一個問題,那就是將所有的 的矩陣看作向量,由這些 “向量” 生成空間 ,我們可以得到這個空間的一組基為:
其實就相當於將我們之前的向量拓展為矩陣,將 延申到 ,接下來的課程裡還會具體講到。
以上~