[CEOI2015 Day2]世界冰球錦標賽

題目描述

譯自 CEOI2015 Day2 T1「Ice Hockey World Championship」

今年的世界冰球錦標賽在捷克舉行。\(Bobek\) 已經抵達布拉格，他不是任何團隊的粉絲，也沒有時間觀念。他只是單純的想去看幾場比賽。如果他有足夠的錢，他會去看所有的比賽。不幸的是，他的財產十分有限，他決定把所有財產都用來買門票。

給出 \(Bobek\) 的預算和每場比賽的票價，試求：如果總票價不超過預算，他有多少種觀賽方案。如果存在以其中一種方案觀看某場比賽而另一種方案不觀看，則認為這兩種方案不同。

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輸入格式：

第一行，兩個正整數 \(N\)

第二行，\(N\) 個以空格分隔的正整數，均不超過 \(10^{16}\)，代表每場比賽門票的價格。

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輸出一行，表示方案的個數。由於 \(N\) 十分大，注意：答案 \(\le 2^{40}\)。

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輸入樣例#1：

5 1000
100 1500 500 500 1000

輸出樣例#1：

8

說明

樣例解釋

八種方案分別是：

• 一場都不看，溜了溜了
• 價格 \(100\) 的比賽
• 第一場價格 \(500\) 的比賽
• 第二場價格 \(500\) 的比賽
• 價格 \(100\)
  的比賽和第一場價格 \(500\) 的比賽
• 價格 \(100\) 的比賽和第二場價格 \(500\) 的比賽
• 兩場價格 \(500\) 的比賽
• 價格 \(1000\) 的比賽

有十組資料，每通過一組資料你可以獲得 \(10\) 分。各組資料的資料範圍如下表所示：

題解

首先看資料範圍

1. 1-4組資料\(N\leq20\)，爆搜就可以解決。

   inline void dfs(R ll dep,R ll sum){
    if(sum>m)return;
    if(dep==n+1){
        ans++;
        return;
    }
    dfs(dep+1,sum+a[dep]);
    dfs(dep+1,sum);
   }
   int main(){
    read(n);read(m);
    for(R int i=1;i<=n;i++)read(a[i]);
    if(n<=20){
        dfs(1,0);
        printf("%lld\n",ans);
    }
       return 0;
   }
    
   

2. 5-7組資料\(M\leq10^6\)，裸的揹包啊。

   int main(){
    read(n);read(m);
    for(R int i=1;i<=n;i++)read(a[i]);
       if(m<=1e6){
           f[0]=1;
           for(R int i=1;i<=n;i++)
               for(R int j=m;j>=a[i];j--)
                   f[j]+=f[j-a[i]];
           for(R int i=0;i<=m;i++)ans+=f[i];
           printf("%lld\n",ans);
       }
       return 0;
   }
   

3. 現在你已經能拿到70分了（但在洛谷上是47分）

下面引出主角——折半搜尋（meet in the middle思想）

因為\(N\leq40\) \(O(2^{40})\)的爆搜一定會\(TLE\)，所以我們將\(N\)分成兩份

搜尋\(1\)到\(n/2\)和\(n/2+1\)到\(n\)，讓複雜度降到\(O(2^{n/2+1})\)。

畫一個圖（網上找的不錯的圖）理解一下為什麼能降低複雜度

inline void dfs(R int l,R int r,R ll sum,R ll a[],R ll &cnt){
    if(sum>m)return;
    if(l>r){
        a[++cnt]=sum;
        return;
    }
    dfs(l+1,r,sum+w[l],a,cnt);//選
    dfs(l+1,r,sum,a,cnt);//不選
}

將前一半的搜尋狀態存入a陣列，後一半存入b陣列。

mid=n/2;
dfs(1,mid,0,suma,cnta);
dfs(mid+1,n,0,sumb,cntb);

一般\(meet\) \(in\) \(the\) \(middle\)的難點主要在於最後答案的組合統計。

我們可以現將a或b陣列sort，讓其有序。

然後通過列舉另一個數組中的狀態，來實現統計答案。

上述找\(pos\)的過程可以通過upper_bound()完成。

sort(suma+1,suma+1+cnta);//使一個數組有序
for(R int i=1;i<=cntb;i++)
    ans+=upper_bound(suma+1,suma+1+cnta,m-sumb[i])-suma-1;//統計ans

下面是高清完整code：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#define ll long long
#define R register
#define N 55
using namespace std;
template<typename T>inline void read(T &a){
    char c=getchar();T x=0,f=1;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
    a=f*x;
}
ll n,m,w[N],mid,suma[1<<21],sumb[1<<21],cnta,cntb,ans;
inline void dfs(R int l,R int r,R ll sum,R ll a[],R ll &cnt){
    if(sum>m)return;
    if(l>r){
        a[++cnt]=sum;
        return;
    }
    dfs(l+1,r,sum+w[l],a,cnt);
    dfs(l+1,r,sum,a,cnt);
}
int main(){
    read(n);read(m);
    for(R int i=1;i<=n;i++)read(w[i]);
    mid=n>>1;
    dfs(1,mid,0,suma,cnta);
    dfs(mid+1,n,0,sumb,cntb);
    sort(suma+1,suma+1+cnta);
    for(R int i=1;i<=cntb;i++)
        ans+=upper_bound(suma+1,suma+1+cnta,m-sumb[i])-suma-1;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

這裡還有一道折半搜尋的好題，難度升級——luogu，還有 my blog.