A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked 'Start' in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked 'Finish' in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Above is a 3 x 7 grid. How many possible unique paths are there?

Note: m and n will be at most 100.

 /* z我最開始只想用遞迴，後來不行，我就用下圖的記憶化儲存的遞迴方法，把子問題儲存起來，省的重複計算，結果還是說我時間複雜度太大
           * int[][] arr = new int[m+1][n+1];
           if(arr[m][n] != 0) {
               return arr[m][n];
           }
           if( 1 == m) {
               arr[m][n] = 1;
           }else if( 1 == n){
               arr[m][n] = 1;
           }else {
               arr[m][n] = uniquePaths(m - 1, n ) + uniquePaths(m , n - 1 );
           }
            
         return arr[m][n];*/

  //後來想想，用自底向上的最優化子結構應該會比自頂向下要簡單一些，如圖所示，通過，並且和牛客網上的最優解法幾乎一致
           int[][] arr = new int[m+1][n+1];
           for(int i = 0 ; i <= m ; i ++) {
               arr[i][1] = 1;
           }
           for(int j = 0 ; j <= n ; j ++) {
               arr[1][j] = 1;
           }
           for(int i = 2 ; i <= m ; i ++) {
               for(int j = 2 ;j <= n ; j ++) {
                   arr[i][j] = arr[i-1][j]+arr[i][j-1];
               }
           }
        return arr[m][n];