1.傅立葉變換

1) 簡介

數字影象處理的方法主要分成兩大部分：空域分析法和頻域分析法。空域分析法就是對影象矩陣進行處理；頻域分析法是通過影象變換將影象從空域變換到頻域，從另外一個角度來分析影象的特徵並進行處理。頻域分析法在影象增強、影象復原、影象編碼壓縮及特徵編碼壓縮方面有著廣泛應用。

如果一個訊號f(t)在上滿足：

① f(t)在任一有限區間上滿足狄氏條件；

② f(t)在上絕對可積即

就可以通過傅立葉變換把時域訊號f(t)轉化到頻域進行處理：

然後再通過傅立葉反變換把頻域訊號轉化到時域：

傅立葉變換是線性系統分析的有力工具，提供了一種把時域訊號轉換到頻域進行分析的途徑，時域和頻域之間是一對一的對映關係。影象的頻率是表徵影象中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在影象中是一片灰度變化緩慢的區域，對應的頻率值很低；而對 於地表屬性變換劇烈的邊緣區域在影象中是一片灰度變化劇烈的區域，對應的頻率值較高。

傅立葉變換在實際中有非常明顯的物理意義，設f是一個能量有限的模擬訊號，則其傅立葉變換就表示f的 譜。從純粹的數學意義上看，傅立葉變換是將一個函式轉換為一系列周期函式來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將影象從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將 影象從頻率域轉換到空間域。換句話說，傅立葉變換的物理意義是將影象的灰度分佈函式變換為影象的頻率分佈函式，傅立葉逆變換是將影象的頻率分佈函式變換為 灰度分佈函式。

2) 不足之處

經典Fourier變換隻能反映訊號的整體特性（時域，頻域）。對傅立葉譜中的某一頻率，無法知道這個頻率是在什麼時候產生的。從傅立葉變換的定義也可看出，傅立葉變換是訊號在整個時域內的積分，因此反映的是訊號頻率的統計特性，沒有區域性化分析訊號的功能。另外，要求訊號滿足平穩條件。傅立葉變換時域和頻域是完全分割開來的。

l 由式可知，要用Fourier變換研究時域訊號頻譜特性，必須要獲得時域中的全部資訊；

l 訊號在某時刻的一個小的鄰域內發生變化，那麼訊號的整個頻譜都要受到影響，而頻譜的變化從根本上來說無法標定發生變化的時間位置和發生變化的劇烈程度。也就是說，Fourier變換對訊號的齊性不敏感。不能給出在各個區域性時間範圍內部頻譜上的譜資訊描述。然而在實際應用中齊性正是我們所關心的訊號區域性範圍內的特性。如，音樂，語言訊號等。即：區域性化時間分析，圖形邊緣檢，地震勘探反射波的位置等資訊極重要。

l 為解決傅立葉變換的侷限性，產生了Gabor變換和小波變換。

2.Gabor變換

Gabor變換是D.Gabor 1946年提出的。為了由訊號的Fourier變換提取區域性資訊，引入了時間區域性化的窗函式，得到了視窗Fourier變換。由於視窗Fourier變換隻依賴於部分時間的訊號，所以，現在視窗Fourier變換又稱為短時Fourier變換，這個變換又稱為Gabor變換。

1) Gabor優點

Gabor小波與人類視覺系統中簡單細胞的視覺刺激響應非常相似。它在提取目標的區域性空間和頻率域資訊方面具有良好的特性。雖然Gabor小波本身並不能構成正交基，但在特定引數下可構成緊框架。Gabor小波對於影象的邊緣敏感，能夠提供良好的方向選擇和尺度選擇特性，而且對於光照變化不敏感,能夠提供對光照變化良好的適應性。上述特點使Gabor小波被廣泛應用於視覺資訊理解。

Gabor濾波器和脊椎動物視覺皮層感受野響應的比較：第一行代表脊椎動物的視覺皮層感受野，第二行是Gabor濾波器，第三行是兩者的殘差。可見兩者相差極小。Gabor濾波器的這一性質，使得其在視覺領域中經常被用來作影象的預處理。

2) Gabor定義

① 具體窗函式――Gaussaion的 Gabor變換定義式

Gabor變換的基本思想：把訊號劃分成許多小的時間間隔，用傅立葉變換分析每一個時間間隔，以便確定訊號在該時間間隔存在的頻率。其處理方法是對f(t)加一個滑動窗，再作傅立葉變換。

設函式f為具體的函式，且，則Gabor變換定義為

其中，，是高斯函式，稱為窗函式。其中a>0,b>0.

是一個時間區域性化的“窗函式”。其中，引數b用於平行移動視窗，以便於覆蓋整個時域。對引數b積分，則有

訊號的重構表示式為

Gabor取g(t)為一個高斯函式有兩個原因：一是高斯函式的Fourier變換仍為高斯函式，這使得Fourier逆變換也是用窗函式區域性化，同時體現了頻域的區域性化；二是Gabor變換是最優的視窗Fourier變換。其意義在於Gabor變換出現之後，才有了真正意義上的時間－頻率分析。即Gabor變換可以達到時頻區域性化的目的：它能夠在整體上提供訊號的全部資訊而又能提供在任一區域性時間內訊號變化劇烈程度的資訊。簡言之，可以同時提供時域和頻域區域性化的資訊。

② 視窗的寬高關係

經理論推導可以得出：高斯窗函式條件下的視窗寬度與高度，且積為一固定值。

 矩形時間――頻率窗：寬為，高。

由此，可以看出Gabor變換的侷限性：時間頻率的寬度對所有頻率是固定不變的。實際要求是：視窗的大小應隨頻率而變化，頻率高視窗應愈小，這才符合實際問題中的高頻訊號的解析度應比低頻訊號的解析度要低。

3) 離散Gabor變換的一般求法

① 首先選取核函式

可根據實際需要選取適當的核函式。如，如高斯窗函式；

則其對偶函式為

② 離散Gabor變換的表示式

其中，

是的對偶函式，二者之間有如下雙正交關係。

4) Gabor變換的解析理論

Gabor變換的解析理論就是由g(t)求對偶函式的方法。

定義g(t)的Zak變換為

可以證明對偶函式可由下式求出：

有了對偶函式可以使計算更為簡潔方便。

5) 適用條件

① 臨界取樣Gabor展開要求條件：TΩ=2π；

② 過取樣展開要求條件：TΩ≤2π；

當TΩ＞2π時，欠取樣Gabor展開，已證明會導致數值上的不穩定。

6) 應用

① 暫態訊號檢測

如果對訊號波形有一定的先驗知識且可以據此選取合適的基函式，可以用Gabor變換對訊號作精確的檢測統計計量。

② 圖象分析與壓縮

二維Gabor變換可以應用到圖象分析與壓縮中。

3. 二維Gabor濾波器

用Gabor 函式形成的二維Gabor 濾波器具有在空間域和頻率域同時取得最優區域性化的特性，因此能夠很好地描述對應於空間頻率(尺度)、空間位置及方向選擇性的區域性結構資訊。Gabor濾波器的頻率和方向表示接近人類視覺系統對於頻率和方向的表示，並且它們常備用於紋理表示和描述。在影象處理領域，Gabor濾波器是一個用於邊緣檢測的線性濾波器。，在空域，一個2維的Gabor濾波器是一個正弦平面波和高斯核函式的乘積。Gabor濾波器是自相似的，也就是說，所有Gabor濾波器都可以從一個母小波經過膨脹和旋轉產生。實際應用中，Gabor濾波器可以在頻域的不同尺度，不同方向上提取相關特徵。

1)定義

空域來看：是高斯核函式調製正弦平面波

s(x,y)是複雜的正弦函式，相當於載波；w(x,y)是2維高斯函式包跡。

（u0,v0）定義了正弦平面波的時域頻率，在極座標中可用f和Θ來表示。

a,b 為x和y方向的橢圓高斯的方差

K=1/ab 為高斯包跡的引數

r 為角度旋轉的下標

Θ為旋轉角度

（x0,y0）為函式峰值，也是接受域的中心

f(x,y) f(x',y')

Gabor濾波器的傅立葉變換：峰值響應在復正弦的空域頻率(u0,v0)

Gabor濾波器示意圖，3種角度5種方向：

2) 分析

生成2維Gabor濾波器的matlab 程式碼：

Opencv實現：