一、多元函式的極值及最大值與最小值：  定義：設函式z=f(x,y)z=f(x,y)的定義域為D，P0(x0,y0)D，P0(x0,y0)為DD的內點。若存在P0P0的某個鄰域U(P0)⊂DU(P0)⊂D。

若對於該鄰域內異與P0P0的任何點(x,y)(x,y)，都有： f(x,y)<f(x0,y0) f(x,y)<f(x0,y0) 則稱函式f(x,y)f(x,y)在點(x0,y0)(x0,y0)有極大值f(x0,y0)f(x0,y0)，點(x0,y0)(x0,y0)稱為函式f(x,y)f(x,y)的極大值點； 若對於該鄰域內異與P0P0的任何點(x,y)(x,y)，都有： f(x,y)>f(x0,y0) f(x,y)>f(x0,y0) 則稱函式f(x,y)f(x,y)在點(x0,y0)(x0,y0)有極小值f(x0,y0)f(x0,y0)，點(x0,y0)(x0,y0)稱為函式f(x,y)f(x,y)的極小值點； 極大值與極小值統稱為極值。使得函式取得極值的點稱為極值點。

定理1(必要條件)：設函式z=f(x,y)z=f(x,y)在點(x0,y0)(x0,y0)具有偏導數，且在點(x0,y0)(x0,y0)處有極值，則有 fx(x0,y0)=0, fy(x0,y0)=0 fx(x0,y0)=0, fy(x0,y0)=0 定理2(充分條件)：設函式z=f(x,y)z=f(x,y)在點(x0,y0)(x0,y0)的某一鄰域內連續且有一階及二階連續偏導數，又fx(x0,y0)=0, fy(x0,y0)=0fx(x0,y0)=0, fy(x0,y0)=0，令 fxx(x0,y0)=A, fxy(x0,y0)=B, fyy(x0,y0)=C fxx(x0,y0)=A, fxy(x0,y0)=B, fyy(x0,y0)=C 則有： 因為AC-B^2>0,A和C肯定是同號的，A<0,必有C<0,A>0,必有C>0, 所以，也可以用C的符號判斷極大極小。 則f(xy)f(xy)在(x0,y0)(x0,y0)是否取得極值的條件如下：AC-B^2>0時，有極值，當A<<0時有極大值，當A>0時有極小值；   AC-B^2<0時，沒有極值； AC-B^2=0時，另做討論。